Найти экстремумы

[ShMaxG]

Общий план решения знаю, но по каким-то причинам довольно сложно решаются следующие две задачи:

1) Найти экстремумы функции

$\[ f\left( {x,y,z} \right) = \left( {1 + x - 2y} \right)xz^2 + \left( {1 + y - 2z} \right)yx^2 \]$.


Нахожу частные производные, приравниваю к нулю и останавливаюсь из-за большой технической сложности:

$\[ \begin{gathered} \frac{{\partial f}} {{\partial x}} = xz^2 + \left( {1 + x - 2y} \right)z^2 + 2xy\left( {1 + y - 2z} \right) = 0 \hfill \\ \frac{{\partial f}} {{\partial y}} = - 2xz^2 + yx^2 + \left( {1 + y - 2z} \right)x^2 = 0 \hfill \\ \frac{{\partial f}} {{\partial z}} = 2xz\left( {1 + x - 2y} \right) - 2yx^2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$

Может быть есть какой-нибудь намного простой способ решения?

2) Задача на условный экстремум:

$\[ f\left( {x,y} \right) = x^2 - xy + 2y^2 \]$ при $\[ x^2 - 2y^2 = a,a \ne 0 \] $.

Здесь получаю уравнение на игрек:
$ \[ 4y^2 + a = 8y\sqrt {2y^2 + a} \]$, но что-то сомневаюсь, что так все сложно.

-- Сб сен 05, 2009 22:17:03 --

А, ну вот со второй задачей кажется сообразил. Надо ее записать в виде $\[ f\left( {x,y} \right) = x^2 - xy + 2y^2 = 4y^2 - xy + a \]$. Тогда проще находить стационарные точки.

[olg]

надо обратить внимание на симметрию при циклической замене x:y, y:z, z:x и тд ничегоне меняется

[ShMaxG]

(Удалено. Никакой циклической перестановки нет.)

[olg]

ну, я не проделывал выкладки...просто в физтехе это частый прикол

[jetyb]

olg в сообщении #240837 писал(а):

надо обратить внимание на симметрию при циклической замене x:y, y:z, z:x и тд ничегоне меняется

Левая часть функции переходит в правую, это да, но сама функция меняется.

ShMaxG в сообщении #240840 писал(а):

Кароче, будет только одна стационарная точка -(0;0;0) .

Система также имеет решение $x=0, y=\frac{1}{2}$. Если в задаче требуется найти только глобальный экстремум, то надо взять $y=0$.

[ShMaxG]

jetyb в сообщении #240854 писал(а):

Левая часть функции переходит в правую, это да, но сама функция меняется

Да, действительно, это я чушь написал тогда.

Надо найти все локальные экстремумы.

-- Вс сен 06, 2009 16:30:45 --

У меня появилась такая идея.

Фиксируем координаты $x$ и $z$. Получаем квадратное уравнение относительно $y$. Ищем минимум. Подставляем в функцию это значение и получаем функцию уже от двух переменных - $x$ и $z$. Далее, фиксируем $z$. И исследуем получившуюся функцию от $x$ на минимум (там вылезет $z>1/4$ для поиска минимума). Найдем, подставим. Получим функцию от $z$. При $z>1/4$ ее $\[ \inf = - \infty \] $, так что минимума исходной функции $f(x,y,z)$ нет.

Верно ли это? Действительно ли мы таким подходом можем обнаружить все минимумы, если они есть?