контурный интеграл с помощью вычетов

[gepa]

$ \int_{|z-1|=2}^{} cos(\frac {2z-1} {z-1}) *(z^2 +z +1)dz$$ $
выражение $ (\frac {2z-1} {z-1}) $ можно преобразовать до $ 2+ \frac {1} {z-1} $ путем представления -1 в виде -2+1 и почленного деления

тут имеем 3 точки входящие в окружность z=1 z=-0.5 + 0.866i z=-0.5-0.866i $ $
точка z=1 существенная особая, след-но используем разложение в ряд Лорана
по фор-ле косинуса суммы получаем $ cos2 * cos \frac {1} {z-1} - sin2 *sin \frac {1} {z-1} $
далее $cos2*( 1- \frac {1} {2!*(z-1)^2}......) - sin2*(\frac {1} {(z-1)} -\frac {1} {3!*(z-1)^3}.......) $
но ведь это надо еще умножить на $(z^2 +z +1)$ в связи с этим коэф $C_-1$ не могу найти

что касается 2-х других точек, то они получются устранимыми особыми точками, след-но вычеты нужно искать тоже с помощью ряда Лорана, но как разложить в него $(z^2 +z +1)$ ?




срочно нужна помощь

[fnake]

Вам нужно лишь переразложить $z^2+z+1$ по степеням $z-a,$ где $a$ является особой точкой.

[gepa]

тогда $z^2+z+1$перепишем как $(z+1)^2 -z$ и разложим
$(z+1)^2 -z = 1+ \frac {2z} {1!} + \frac {2(2-1)z^2} {2!}+......-z= 1 + z +\frac {z^2} {2!} $
и $C_-1=1$

[Lyoha]

gepa в сообщении #240628 писал(а):

$ \int_{|z-1|=2}^{} cos(\frac {2z-1} {z-1}) *(z^2 +z +1)dz$$ $
...
тут имеем 3 точки входящие в окружность z=1 z=-0.5 + 0.866i z=-0.5-0.866i $ $

Только $z=1$. Две остальные не по делу.

Цитата:

точка z=1 существенная особая, след-но используем разложение в ряд Лорана
по фор-ле косинуса суммы получаем $ cos2 * cos \frac {1} {z-1} - sin2 *sin \frac {1} {z-1} $
далее $cos2*( 1- \frac {1} {2!*(z-1)^2}......) - sin2*(\frac {1} {(z-1)} -\frac {1} {3!*(z-1)^3}.......) $
но ведь это надо еще умножить на $(z^2 +z +1)$ в связи с этим коэф $C_-1$ не могу найти

что касается 2-х других точек, то они получются устранимыми особыми точками, след-но вычеты нужно искать тоже с помощью ряда Лорана, но как разложить в него $(z^2 +z +1)$ ?

Нам интересен только член $-\sin2*\frac{1}{z-1}(z^2+z+1)$. Соответственно, $c_{-1}=-3\sin2$.

[gepa]

а почему только z=1, ведь 2 другие точки тоже входят в область |z-1|=2

а можно поподробнее как получилось $C_-1$

[fnake]

gepa в сообщении #240643 писал(а):

тогда $z^2+z+1$перепишем как $(z+1)^2 -z$ и разложим
$(z+1)^2 -z = 1+ \frac {2z} {1!} + \frac {2(2-1)z^2} {2!}+......-z= 1 + z +\frac {z^2} {2!} $
и $C_-1=1$

Правильнее будет вот так:

$$z^2+z+1=((z-1)+1)^2+(z-1)+1+1=(z-1)^2+2(z-1)+1+(z-1)+2=(z-1)^2+3(z-1)+3.$$

Затем перемножьте полученное выше выражение и ряд и найдите коэффициент при $(z-1)^{-1} $(в вычет дадут вклад только члены ряда с номерами $-3,-2,-1.$)

[Lyoha]

gepa в сообщении #240649 писал(а):

а почему только z=1, ведь 2 другие точки тоже входят в область |z-1|=2

А что это за точки? Нули многочлена? Если да, то они на результат никак не влияют, ибо отрицательных степеней разложения не дают. Если нет, значит я что-то прозевал. Что?

gepa в сообщении #240649 писал(а):

а можно поподробнее как получилось

Я не совсем точно выразился. Есть $f(z)*g(z)$. $f$ при разложении по $(z-1)$ имеет ненулевой коэффициент $c_{-1}$. А $g$ имеет конечный ненулевой предел тогда $res(1)=c_{-1}*g(1)$

Да, осознал, что следующие порядки в разжении многочлена нужны, так как особая точка имеет другие члены отрицательной степени.

[gepa]

всем спасибо, разобрался

[ewert]

fnake в сообщении #240659 писал(а):

Правильнее будет вот так:

$$z^2+z+1=((z-1)+1)^2+(z-1)+1+1=(z-1)^2+2(z-1)+1+(z-1)+2=(z-1)^2+3(z-1)+3.$$

Затем перемножьте полученное выше выражение и ряд и найдите коэффициент при $(z-1)^{-1} $(в вычет дадут вклад только члены ряда с номерами $-3,-2,-1.$)

Совершенно верно, только надо бы явно исправить ошибку в предыдущих постах -- слагаемое с косинусом тоже нужно учитывать (именно в нём сидит минус вторая степень).

А вообще-то лучше всего сделать замену $z-1=w$ -- суть выкладок от этого не изменится, но выглядеть они будут гораздо прозрачнее.