Уровнение Бернули. я 1-й курс, прошу помочь.

[AliSteR]

Помогите пожалуйста! Только закончил школу и поступил в технический университет. Направьте меня в нужное русло в уравнении Бернули. (пожалуста если не трудно подробнее , я оч. глупый , но хочу Вас понять.):
[math]$(1+a)^2\geqslant $1+an , если ($a>-1,n\geqslant 1$)







...я новичок , плохо соображаю в math.

[Mathusic]

Это неравенство Бернулли, а не урАвнение. И у вас не правильно записано. Нужно
$(1+a)^n \ge 1+an$
Для доказательства используйте, например, индукцию по $n$.

[gris]

Вы, наверное, хотели написать
$(1+a)^n\geqslant 1+an$ , если $a>-1,n\geqslant 1$

При вводе формул используйте только значки $. Скобки math автоматически подставятся. Ой, уже Вам подсказали.

[AliSteR]

Да! Вы правы именно это неравенство! Извените за ошибки... =( урАвнение)))))
а как решается через индукцию $^n$ ??? пожалуйста я глупый, но оч-оч хочу понять как это делается, просто мне выходить к доске в среду...

-- 03 сен 2009, 21:07 --

Да! Вы правы именно это неравенство! Извените за ошибки... =( урАвнение)))))
а как решается через индукцию $^n$ ??? пожалуйста я глупый, но оч-оч хочу понять как это делается, просто мне выходить к доске в среду...

[gris]

Как же Вы в университет поступили, если глупый?
По ЕГЭ и льготам? Шутка.

Покажите, что неравенство верно при $n=1$
Потом докажите, что если оно верно при $n$, то верно и при $n+1$. Используйте, что $(1+a) >0$

Если Вам станет интересно, то докажите неравенство для $a \geqslant -2$

[Xaositect]

Метод математической индукции состоит в следующем:
Сначала мы доказываем утверждение задачи при $n=1$. (База индукции)
Потом мы доказываем, что если верно утверждение для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$, т.е. сводим задачу для $n=k+1$ к уже рассмотренной задаче для $n=k$. (Шаг индукции)
Из этого мы делаем вывод, что утверждение верно для всех натуральных $n$.

Рассмотрим пример. Докажем, что $n^2 < 4^n$
База индукции. Очевидно, при $n=1$ $n^2 = 1 < 4 = 4^n$
Шаг индукции. При переходе от $n=k$ к $n=k+1$ правая часть увеличивается в 4 раза, а левая в $(\frac{k+1}{k})^2$ раз. Т.к. при натуральном $k$ $\frac{k+1}{k}\leq 2$, левая часть увеличивается не больше правой, т.е. все равно останется меньше. Это можно записать в виде цепочки неравенств:
$(k+1)^2 = k^2(\frac{k+1}{k})^2 \leq k^2\cdot 2^2 < 4^k \cdot 4 = 4^{k+1}$

Для доказательства неравенства Бернулли надо действовать аналогично. Попробуйте, если будут трудности, спрашивайте еще.

[AliSteR]

спс) скажу вам по секрету , что наша учительница тренеровала нас к ЕГЭ по шаблону 1.5 года. т.е. примеры А1-С2 и о таких примерах речи не было ))

-- 03 сен 2009, 21:53 --

$(1+a)^n\geqslant 1+an , если (a>-1, n\geqslant 1)$
1. База индукции:
$n=1$ - верно
2. Предположение:
$n=k+1$ (что делать дальше? и зачем запускать функцию +1? и вообще я люблю производные )

-- 03 сен 2009, 22:23 --

может быть Вы хотели сказать это?
$\frac {(1+a)^n+1} {(1+a)^n }$ ?