теорема о возвращении

[RIP]

Пусть $(\Omega,\mathcal F,P)$ - вероятностное просранство, $T\colon\Omega\to\Omega$ - обратимое сохраняющее меру $P$ преобразование (с измеримым $T^{-1}$), $A\in\mathcal F$, $P(A)>0$. Докажите, что найдётся целое $n\ge1$ такое, что $P(A\cap T^{-n^2}A)>0$.

[maxal]

Такие задачки в эргодической теории щелкаются как орехи, а вот для неподготовленного читателя могут представлять определённые трудности.
В чуть более общей форме это утверждение приведено как Theorem 1.17 на стр. 10 в Ergodic Ramsey Theory -- an update by V. Bergelson.

[RIP]

Ага, раскусили. Эта и эта задачки тоже из этой оперы, кстати.

[RIP]

Пусть $(M,\rho)$ --- метрический компакт, $a\in M$, отображение $f\colon M\to M$ непрерывно. Допустим, что для любого $b\in M\setminus\{a\}$ выполнено $\inf_{n\in\mathbb N}\rho(f^n(a),f^n(b))>0$, где $f^n=\underbrace{f\circ f\circ\ldots\circ f}_n$ --- $n$-ая композиционная степень. Докажите, что $\liminf_{n\to\infty}\rho(a,f^n(a))=0$.