Что такое цветные алгебры?

[Eli]

Если кто-то знает, просьба объяснить, что такое цветные алгебры; что дает введение этого понятия и где это работает.
(Желательно не слишком абстрактно, так сказать "на пальцах" и если возможно, с примерами).

Заранее огромная благодарность

[gris]

Ну возьмем какое-нибудь поле $F$.
Рассмотрим какую-нибудь алгебру $A$ над этим полем.
Возьмём какой-нибудь группоид $\Gamma$. Для примера множество натуральных чисел по сложению.

Пусть $\forall i,j A_i A_j \subseteq A _{i+j}$

Тогда если $A=\bigoplus \limits_i A_i$,
то $A$ называется $\Gamma$-цветной алгеброй, а $\Gamma$ её раскраской.

А что даёт вообще вся общая алгебра? Применяется где-то, работает...

[Eli]

В Вашем определении неясно, что именно относится к группоиду Г. Индексы i,j?
Если да, то не вполне ясно,как будет, если в общем случае множество индексов I,j -- не обычные целые,
а конечное множество. Как тогда будет, если i+j выходит за пределы n -- размерности множества индексов?
Например, в простом случае 3 цветов?

[gris]

Я для простого примера взял бесконечный группоид. Возьмите конечный. Например, три корня третьей степени из 1. Сумма же понимается не как обычная сумма, а как операция. Для моего примера совпадает с обычным сложением.

Как вообще в общей алгебре там много наворочено. Ввели определение цветности и сразу куча других определений, теорем.

Ну рассмотрите, например, свободную алгебру как множество многочленов от любого множества её порождающих. Совокупность пространств однородных элементов степени n тоже будет определять некоторую раскраску.

[Genmich]

Так получается, что цветные алгебры есть не что иное как градуированные алгебры? Если нет, то в чем разница?

[gris]

В градуированной алгебре раскраска - полугруппа и даже абелева. Есть ещё filtered алгебры... То есть разная степень обобщения.

[nestoklon]

Eli в сообщении #238870 писал(а):

где это работает

Про алгебры не знаю, а цветные точечные группы пользуются популярностью у людей, которые занимаются физикой всяких магнитных материалов.