Определение касательной в школьной геометрии

[Sasha2]

Можно ли как-нибудь доказать, что касательная к любой (достаточно плавной, нуждается в дальнейшем уточнении) замкнутой кривой есть прямая, имеющая с ней одну единственную общую точку.
Требуется определить классы таких кривых, чтобы это было доступно на уровне 6-7 класса средней школы. Понятно, что использование производной не допускается.

Далее естественно дается правильное определение касательной, но снова еще не использующее понятие производной и доказательство, что 1 "неправильное" определение в случае замкнутости кривой приводит к той же самой прямой, что и в случае правильного определения касательной, как предельного положения секущей.

Вообще возможно ли объяснение этого материала так, чтобы это было понятно даже школьнику?

[Cave]

Выпуклость фигуры необходима.

[garin99]

Если у квадрата "достаточно плавно" закруглить углы, то граница полученной фигуры не будет удовлетворять необходимым требованиям. Ну или под "достаточно плавно" нужно понимать слишком жёсткое условие, чтобы исключить такие фигуры, например бесконечную дифференцируемость.

[Sasha2]

Ну так короче, выходит этого нельзя объяснить "на пальцах". А тема казалось такая интересная.

А что неужели, касательная будет отсутствовать, если замкнутая кривая f(x,y) в случае, когда сумма квадратов ее частных производных отлична от нуля и обе непрерывны?

-- Чт авг 20, 2009 01:36:31 --

Да вот кстати тоже не совсем понятное определение.
В учебнике приводится следующее определение: Углом между кривыми в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.

Непонятно вот что. Ведь две кривые, пересекаясь образуют 4 угла (точнее 2 пары равных углов, как вертикальные).
Итак всего имеется 4 угла, из которых есть одна пара равных углов и еще одна пара равных углов.
Из какой пары нужно выбирать угол, который следует считать углом между кривыми, точнее, как определить эту пару?

[Cave]

Когда две прямые пересекаются, они тоже образуют 4 угла. Но выражение "угол между прямыми" никого не смущает. По определению полагают меньший из двух (то есть от 0 до 90 градусов), но при необходимости уточняют.

[Алексей К.]

Задавая кривую в виде $f(x,y)=0$, Вы теряете ориентацию кривой. Или занимаетесь задачами, в которых ориентация несущественна (алгебраическая геометрия, например).
А есть куча задач, где её нельзя игнорировать (таковы, например, большинство задач дифф. геометрии $\to$ компьютерного моделирования). Ориентация определяется, например, возрастанием параметра в параметрическом уравнении $\Gamma(t)=[x(t),\,y(t)]$ (или натуральном $k=f(s)$). И тогда, например, пересекая кривые $\Gamma_1(t)$, $\Gamma_2(t)$, Вы получите однозначно определяемый ориентированный угол $\psi\in(-\pi,\pi]$, а пересекая кривые $\Gamma_2$ и $\Gamma_1(t)$, получите угол $-\psi$.

[terminator-II]

Sasha2 в сообщении #236382 писал(а):

Можно ли как-нибудь доказать, что касательная к любой (достаточно плавной, нуждается в дальнейшем уточнении) замкнутой кривой есть прямая, имеющая с ней одну единственную общую точку.
Требуется определить классы таких кривых, чтобы это было доступно на уровне 6-7 класса средней школы. Понятно, что использование производной не допускается.

Понятие производной, по существу дела, эквивалентно понятию касательной. Так, что, по-моему, Вам лучше не изобретать велосипед, а рассказывать только про касательные к окружности.

[nn910]

На пальцах - можно через "скорости". Рисовали дугу, вставив карандаш в веревочную петлю. Веревка порвалась-куда пойдет линия? Пока летел камень, исчезла гравитация.Куда полетит?
Бобслеист скользил по кривому желобу. Злой Мордред разобрал стенку...
Менее садистское:автомобиль едет по кривой дорожке.На какой прямой стоят люди,которых ослепляют фары?

[Sasha2]

По моему здесь тогда небольшая путаница между понятием
1) Угол между прямой 1 и 2 (есть 2 угла и непонятно какой выбирать)
2) Угол от прямой 1 до прямой 2 (есть один угол, но зависит от порядка, в котором указываются кривые, а следовательно и касательные к ним).

Запутался.

[Алексей К.]

Если это я запутал, то лучше проигнорировать написанное мной
Ну, просто одна прямая/кривая как бы за базу выбирается. Это как направление вектора $(\cos\varphi,\:\sin\varphi)$ --- базой служит по умолчанию ось абсцисс.
Выбирая одну или другую из кривых за базу, получим $\pm\varphi$. Реверсируя одну из кривых, получим $\pm(\pi-|\varphi|)$.
Не, не надо путаться, лучше не читайте.