Решение интегродифференциального уравнения

[AlexanderV]

Что посоветуете новичку для численного решения следующего интегродифференциального уравнения:

m*$d2x/dt2*K(t,tau)d(tau) + k*x = 0

m, k - постоянные коэффициенты,
x(t) - перемещение,
t - время,
K - ядро ползучести следующего вида K = 1 / (t - tau + c)
c - постоянный коэффициент

Пробовал метод Галёркина. Апроксимирующие функции - полиномы Эрмита с разрывной второй производной. Решение-то на правду похоже, но при уменьшении шага как ни странно ведёт себя нестабильно. Если решать уравнение без ядра, то решение сходиться без проблем без понижений порядка производной при помощи интегрирования по частям. Как решить уравнение с ядром?

P.S. В перспективе будет не одно уравнение, а система, и разумеется интересует пошаговое решение.

[alex_rodin]

Может быть, я чего-то не понимаю, но нельзя ли провести такие преобразования:

$$\int\frac{\partial^2x}{\partial t^2}K\left(t,\tau\right)d\tau=-\frac km x,$$

$$\frac{\partial^2x}{\partial t^2}K\left(t,\tau\right)=-\frac km \frac{\partial x}{\partial\tau},$$

$$\frac{\partial^2x}{\partial t^2}=-\frac km \frac{\partial x}{K\left(t,\tau\right)\partial\tau},$$

$$d\theta = K\left(t,\tau\right)d\tau,\ \theta = -\ln\left(t-\tau+C\right),$$

$$\frac{\partial^2x}{\partial t^2}=\frac km \frac{\partial x}{\partial\theta},$$

откуда получается уравнение теплопроводности?

[AlexanderV]

Интеграл впереди определённый - от 0 то t. Да и потом уравнение (систему уравнений) нужно решать численно в любом случае.

[AKM]

AlexanderV в сообщении #236034 писал(а):

Что посоветуете новичку для численного решения следующего интегродифференциального уравнения:

m*$d2x/dt2*K(t,tau)d(tau) + k*x = 0

Новичку настоятельно советую набирать формулы в формате TeX.
Примеры и правила см. здесь.
В частности, исправьте своё сообщение.

$ m \dfrac { d^2 x} {d t^2} \cdot K(t,\tau) d(\tau) + kx = 0 $ $\Longrightarrow\quad m \dfrac { d^2 x} {d t^2} \cdot K(t,\tau) d(\tau) + kx = 0 $

[AlexanderV]

Исправляюсь.
Необходимо численно решить следующее интегродифференциальное уравнение:

$$ m \int\limits_{0}^{t} x''(\tau) \cdot K(t,\tau) d\tau + kx = 0 $$

на [0,T]
с некоторыми начальными условиями x(0) = c1, x'(0) = c2.