мат-ламер дал мне ссылку на книгу О.Я.Виро и др. "Элементарная топология". Вот эта ссылка
http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf. Книга очень хороша. Это учебник со многими задачами (книга выросла из задачника). Именно поэтому мне бы хотелось поговорить о ней, задавая некоторые вопросы. Если случится обсуждение, то я по мере чтения буду подкидывать новые вопросы.
1. История с окрестностями. «Окрестностью точки топологического пространства называется любое открытое множество, содержащее эту точку. Аналитики и французы (следуя Н. Бурбаки) понимают окрестность шире: они называют так любое множество, содержащее окрестность в указанном выше смысле». (Стр. 15). Какова должна быть реакция новичка на последнюю фразу? Её легко предвидеть: Зачем всё так усложнять? И действительно зачем? Для ответа надо либо больше знать или перерыть тонну литературы. Дело в том, что совокупность всех окрестностей точки в смысле Н. Бурбаки есть фильтр. Можно понять, что новичкам не до этого, но намекнуть-то можно. Да и чтобы не путаться (иметь дело с фильтром окрестностей всё равно придется), может быть, поименовать окрестность в старом смысле открытой окрестностью?
2. Стр. 14 «Замкнутость и открытость – во многом аналогичные свойства. Фундаментальное различие между ними состоит в том, что пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязательно открыто, тогда как пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто, и объединение бесконечного набора замкнутых множеств не обязательно замкнуто, тогда как объединение любого набора открытых множеств открыто». Речь идёт о фундаментальных различиях между открытыми и замкнутыми множествами. Здесь бы ещё добавить (или написать, что скажем об этом позже), что каждое непустое открытое множество состоит исключительно из внутренних точек, а структура замкнутых множеств много сложней (непустое замкнутое множество может состоять и из только внутренних точек и из только граничных точек и, наконец, из тех и других).
3. На стр. 34 расположилась знаменитая задача Куратовского («Какое наибольшее число попарно различных множеств можно получить из одного множества, применяя к нему последовательно операции Cl и Int?») и примыкающие к ней вопросы. Я всё жду, когда же в учебниках будет разбираться вопрос о карьере граничных точек в замыкании множества. Ведь внутренние точки множества являются и внутренними точками замыкания, а вот история с граничными точками напоминает детектив.
4. И на сегодня последняя идея; На странице 37 рассказывается о локально замкнутом множестве. Может быть, к месту ещё одно равносильное определению предложение: подмножество
топологического пространства
локально замкнуто, тогда и только тогда, если у каждой его точки существует окрестность, не содержащая его граничных точек, ему не принадлежащих (или, если угодно, его точек прикосновения, ему не принадлежащих). [
Someone судил меня за эту идею не очень строго. Он написал: «Вроде, правильно». Но если кто найдёт ошибку, я буду только рад.]
