На Диком Западе

[Профессор Снэйп]

Ковбой Джо ограбил дилижанс и теперь ему не стоит попадаться на глаза шерифу. Он стоит в конце главной улицы посёлка и ему надо пройти в другой конец этой улицы, где он сможет зайти в салун и промочить горло стаканчиком крепкого виски. Шериф время от времени ездит по главной улице, из конца в конец, с некоторой частотой. Ковбой может пройти половину улицы дворами, где шериф его точно не увидит. А может рискнуть и проделать весь путь прямо по улице.

1) Во сколько раз в первом случае вероятность попасться на глаза шерифу будет для него меньше, чем во втором случае?

2) Если в задаче недостаточно данных для ответа на этот вопрос, то какое минимальное количество данных надо ввести для того, чтобы задача имела однозначное решение?

[alex_rodin]

2?

[Профессор Снэйп]

alex_rodin в сообщении #235553 писал(а):

2?

Сильно сомневаюсь

[alex_rodin]

А разве здесь нельзя пользоваться линейной плотностью вероятности нахождения шерифа в некоторой точке улицы?

[Nxx]

Что значит "ходит с некоторой частотой"? Он всегда на главной улице и ходит туда-сюда или иногда выходит на эту улицу, и иногда сидит в помещении? Если он все время на главной улице, то ковбою нет смысла по ней идти - его точно поймают.

[alex_rodin]

Кстати, не всегда — ковбой может тихо идти сзади шерифа от начала до конца.

[Профессор Снэйп]

alex_rodin в сообщении #235556 писал(а):

А разве здесь нельзя пользоваться линейной плотностью вероятности нахождения шерифа в некоторой точке улицы?

Не знаю, трудно сказать. Мне кажется, что нет.

Представьте себе ситуацию, что улица очень длинная, шериф ездит по ней часто и быстро, а ковбой движется медленно. Тогда в обоих случаях вероятность будет равна единице

-- Вс авг 16, 2009 15:44:24 --

Nxx в сообщении #235557 писал(а):

Он всегда на главной улице и ходит туда-сюда или иногда выходит на эту улицу, и иногда сидит в помещении?

Иногда выходит на улицу, а иногда сидит в своём офисе.

[alex_rodin]

Поскольку ковбой еще не попал в салун, скорость его движения теоретически должна равняться скорости движения шерифа.

[Nxx]

alex_rodin в сообщении #235560 писал(а):

Кстати, не всегда — ковбой может тихо идти сзади шерифа от начала до конца.

Поскольку шериф дойдя до конца, пойдет обратно, он неизбежно увидит ковбоя.

[Профессор Снэйп]

Nxx в сообщении #235567 писал(а):

Поскольку шериф дойдя до конца, пойдет обратно, он неизбежно увидит ковбоя.

Улица отнюдь не пуста, по ней ходит и ездит много народу. Если шериф и ковбой находятся в разных концах улицы, шериф ковбоя не увидит, даже если будет смотреть в его сторону. Нужно, чтобы они находились достаточно близко.

P. S. Задача взята из жизни

-- Вс авг 16, 2009 16:09:04 --

Для определённости несколько моментов.

1) Шериф скачет верхом на лошади, а ковбой идёт пешком. Скорость ковбоя $\ll$ скорости шерифа (подправил условие, извиняюсь за изначальную дезинформацию).

2) Шериф большую часть времени сидит у себя в офисе, из которого улицу не видно. Но время от времени он выезжает на неё, скорее по делам, чем специально для поиска Джо. Что, впрочем, не облегчает участи Джо, ежели тот ему попадается.

[alex_rodin]

Пусть $v$ — скорость ковбоя, $\nu$ — частота выезда шерифа из офиса. Найдем вероятность попасться на глаза шерифу, проходя по дороге участок $l_i$:
$P_i = \frac {l_i} v \nu$. Соответственно $\overline P_i = 1 - \frac {l_i} v \nu$. Вероятность не попасться на $n$ участках равна $\overline P = \prod\limits_{i=1}^n\left(1 - \frac {l_i} v \nu\right)$. Попасться, соответственно $P = 1 - \prod\limits_{i=1}^n\left(1 - \frac {l_i} v \nu\right)$.
А теперь у меня к Вам вопрос: он идет непрерывно половину дороги по улице, половину дворами, или же все время чередует путь: улица-двор-улица-двор и т.д.

[Профессор Снэйп]

alex_rodin в сообщении #235576 писал(а):

А теперь у меня к Вам вопрос: он идет непрерывно половину дороги по улице, половину дворами, или же все время чередует путь: улица-двор-улица-двор и т.д.

Первый вариант. Сначала половину дороги дворами, потом половину по улице.

[alex_rodin]

Тогда в случае, когда он идет только по улице, $l_1 = l$, $P = \frac l v \nu$. Если же половину дворами, половину по улице, то $l_1 = 0,\!5l$, $P = 0,\!5\frac l v \nu$. Ответ — 2.

[Профессор Снэйп]

alex_rodin в сообщении #235578 писал(а):

Тогда в случае, когда он идет только по улице, $l_1 = l$, $P = \frac l v \nu$. Если же половину дворами, половину по улице, то $l_1 = 0,\!5l$, $P = 0,\!5\frac l v \nu$. Ответ — 2.

Если вторая вероятность больше $1/2$ (что достаточно легко себе представить), то первая вероятность больше $1$. Так что ли?

[alex_rodin]

Почему? $\frac 1 \nu > \frac l v$. В противном случае эта формула не применима, т. к. и так понятно, что тогда вероятность равна 1.