Тождественные преобразования определённых интегралов.

[Padawan]

Какие вы можете предложить способы тождественного преобразования определённого интеграла $\int_a^b f(x) dx$ ?

Тривиальные - интегрирование по частям и замена переменной.

Еще способ - сделать две разные замены в одних и тех же пределах и взять полусумму полученных интегралов.
Или вообще сделать семейство замен $x=\varphi(t,\alpha)$ зависящих от параметра $\alpha$, проинтегрировать по $\alpha$ c некоторым весом $h(\alpha)$ и поделить на общий вес. Потом поменять порядок интегрирования - получится новый определенный интеграл от $x$.

Для аналитических функций можно деформировать контур интегрирования, ввести параметризацию полученного криволинейного интеграла и отделить действительную и мнимую части (предполагается, что исходный интеграл "действительный"). Интересно сводится ли этот способ к предыдущему - интегрированию по параметру замены.

[nn910]

Padawan в сообщении #235502 писал(а):

Какие вы можете предложить способы тождественного преобразования определённого интеграла $\int_a^b f(x) dx$ ?

Тривиальные - интегрирование по частям и замена переменной.

Еще способ - сделать две разные замены в одних и тех же пределах и взять полусумму полученных интегралов.
Или вообще сделать семейство замен $x=\varphi(t,\alpha)$ зависящих от параметра $\alpha$, проинтегрировать по $\alpha$ c некоторым весом $h(\alpha)$ и поделить на общий вес. Потом поменять порядок интегрирования - получится новый определенный интеграл от $x$.

Для аналитических функций можно деформировать контур интегрирования, ввести параметризацию полученного криволинейного интеграла и отделить действительную и мнимую части (предполагается, что исходный интеграл "действительный"). Интересно сводится ли этот способ к предыдущему - интегрированию по параметру замены.

А интегрирование по частям разве не сводится к замене$x=f^{-1}(y)$?