Найти мат. ожидание

[anna91]

В учебнике разобрана задача:
Пусть $\Omega=[0,1]$ и пусть $P$ - Лебегова мера на $[0,1]$. Рассмотрим случайную величину $X(\omega)=$ {1, если $\omega$- иррациональное число; 0, если $\omega$ - рациональное число}.
$EX=1\cdot P({\omega \in [0,1]; $\omega - иррациональное число)+$0\cdot P({\omega \in [0,1]; $\omega - рациональное число).
Далее идет фраза:
На отрезке $[0,1]$ число рациональных чисел конечно (они могут быть представлены как последовательность $x_1, x_2, ...$. Каждое число в этой последовательности имеет вероятность 0, следовательно (даны ссылки на теоремы) вся последовательность имеет вероятность 0.
В общем, они показывают, что $EX=1.

Мне непонятно, почему "на отрезке $[0,1]$ число рациональных чисел конечно".

Пример дается, чтобы показать разницу между Лебеговым и Римановым интегралами.

[ewert]

anna91 в сообщении #234860 писал(а):

Мне непонятно, почему "на отрезке число рациональных чисел конечно".

По дурости. Надо было просто сказать, что множество рациональных чисел имеет нулевую меру Лебега (что правда, конечно).

Впрочем, не совсем так. Раз там дальше "ссылки на теоремы", то, наверное, и ссылки на счётную аддитивность вероятностной меры. И на счётность мн-ва рац. чисел. Но уж никак не конечность. Тривиальное разгильдяйство аффтаров, и всё.

[anna91]

Спасибо большое за быстрый и понятный ответ!