Градиент и математическое ожидание

[bubu gaga]

Известно ли при каких условиях для дифференцируемой функции $f$ верно $ \nabla \mathsf{E}f = \mathsf{E}\nabla f $. Спасибо!

[Хорхе]

Вопрос непонятен. Что под математическим ожиданием случайно? По каким переменным берется градиент?

[bubu gaga]

Прошу прощения. Определим $h(\boldsymbol{a}) \equiv \mathsf{E} f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}(\omega))$. Bерно ли (и когда) $\nabla h(\boldsymbol{a}) = \mathsf{E} \nabla_a f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}(\omega))$

[Хорхе]

Чаще всего верно. Математическое ожидание = обычный интеграл Лебега по конечной мере. Поэтому для него справедливы соответствующие теоремы о дифференцировании под знаком интеграла. Скажем, достаточно, чтобы $f$ была непрерывно дифференцируема по $a$ с ограниченной производной.

[bubu gaga]

Спасибо!