Континуум и подмножества натурального ряда. Биекция

[Droog_Andrey]

Есть замечательная биекция (обозначим её $f$) множества всех неотрицательных действительных чисел в множество всех подмножеств множества всех неотрицательных целых чисел.

1. Пусть $a$ - положительное действительное число.
2. Представляем $a$ в виде правильной непрерывной дроби: $a=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{a_3+...}}}$
3. Если дробь конечна, то последнее значение $a_k$ уменьшаем на 1.
4. Определяем множество $f(a)$ значений частичных сумм $\sum\limits_{k=0}^{n}a_k$ для $n \in \mathbb{N}_0$.
5. $f(0) = \varnothing$.

Инъективность очевидна; сюръективость, думаю, тоже

(Кстати, сразу вопрос: не изучал ли эту биекцию кто-нибудь раньше? Может, она уже широко известна в узких кругах, и даже названа чьим-нибудь именем?)

Так вот, у $f$ есть несколько интересных свойств, например (везде полагаем $a \geqslant 0$):
1. $a \in \mathbb{N}_0 \Leftrightarrow f(a+1) = \{a\}, f(a+\frac12) = \{a, a+1\}$ и т.д.
2. $a \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow f(a) < \aleph_0$ (т.е. получаемые подмножества конечны для рациональных прообразов и только для них)
3. $a \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \Rightarrow \forall M>0, \exists \varepsilon > 0: \forall |x| < \varepsilon, \inf(f(a+x) \triangle f(a)) > M$ (т.е., грубо говоря, для иррациональных $a$ бесконечно малое изменение $a$ затрагивает лишь бесконечно большие элементы $f(a)$).

В свете этого третьего свойства весьма интересно рассматривать первый, второй, третий и т.д. элементы множества $f(a)$, упорядоченного по возрастанию, как целочисленные функции от $a$. Кстати, графики этих функций, изображённые в одной системе координат, образуют завораживающую фракталоподобную картину. Попробуйте изобразить её сами

Некоторые константы дают особенные подмножества. Например, $\sqrt2$ даёт множество нечётных натуральных; золотое сечение - множество положительных целых; константа $2.71010202343...$ - множество простых; можно явно задать $f(e)$ и т.п.

Обращаю внимание, что для почти всех $a$ множество $f(a)$ в некотором смысле неплотно, т.е.
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac1n \sum\limits_{k \in f(a)}^{n}1 = 0$
(подробнее см. Константа Хинчина).

Весьма интересно существование подобных пределов для других биекций $\frak{c} \leftrightarrow 2^{\aleph_0}$. Что-то мне подсказывает, что такой предел обязательно либо равен нулю, либо равен единице, либо не существует для почти всех элементов континуума независимо от конкретной биекции.

В общем, приветствуются соображения и комментарии по этому поводу, а также по поводу различных свойств биекции $f$

[migmit]

Droog_Andrey в сообщении #234469 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что такой предел обязательно либо равен нулю, либо равен единице, либо не существует для почти всех элементов континуума независимо от конкретной биекции.

Это, разумеется, не так.

Пусть $A$ - произвольное подмножество $\mathbb{N}$ некоторой фиксированной плотности $\alpha\in(0,1)$. Скажем, если $\alpha=1/2$, можно взять множество чётных чисел. Пусть, кроме того, $B$ - бесконечное множество плотности $0$, не пересекающееся с $A$. В нашем примере с чётными числами это может быть, скажем, множество всех чисел вида $10^n+1$.

Множество всех подмножеств $B$, очевидно, континуально. Рассмотрим произвольное континуальное подмножество $X\subset\mathbb{R}$, имеющее нулевую меру (можно даже первую категорию). Скажем, канторово множество. Дополнение $\mathbb{R}\setminus X$, очевидно, тоже континуально. Поэтому существует биекция $\varphi$ между этим дополнением и множеством всех подмножеств $B$.

Множество $\{C\subseteq\mathbb{N}|C\not\subseteq B\vee A\not\subseteq C\}$ тоже континуально. Пусть $\psi$ - биекция множества $X$ на него.

Теперь определим биекцию $\mathbb{R}$ на множество всех подмножеств $\mathbb{N}$ следующим образом: если $a\in X$, то положим $f(a)=\psi(a)$; если $a\not\in X$, то $f(a)=A\cup\varphi(a)$. Это биекция, и для почти всех чисел $a$ значение $f(a)$ лежит между $A$ и $A\cup B$ - а потому имеет требуемую плотность $\alpha$.

[Droog_Andrey]

migmit в сообщении #234483 писал(а):

Это, разумеется, не так.

Да, я уже понял

В голове вертелось третье свойство, вот такая догадка и возникла. Сейчас вот думаю - быть может, для таких биекций $g(a)$ - назовём их почти гладкими - которые для почти всех $a$ удовлетворяют

\forall M>0, \exists \varepsilon > 0: \forall |x| < \varepsilon, \inf(g(a+x) \triangle g(a)) > M$

всё-таки что-то можно сказать о плотности образа $\alpha(a) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac1n \sum\limits_{k \in g(a)}^{n}1$?

[Профессор Снэйп]

Вообще, существует $2^{2^{\aleph_0}}}$ различных биекций...

[Droog_Andrey]

Профессор Снэйп, а это Вас пугает?

[Профессор Снэйп]

Droog_Andrey в сообщении #234676 писал(а):

Профессор Снэйп, а это Вас пугает?

Нет, я боюсь совсем других вещей