Броуновское движение, усл.мат.ожидание

[anna91]

Пусть $X(t)$ - геометрическое броуновское движение, т.е.
$X(t)=e^{Y(t)}$, где
$Y(t)$ - броуновское движение.

Рассматриваем ожидание:
$E(X(T)|X(t)=E(X(t)\frac{X(T)}{X(t)}|X(t))=X(t)E(\frac{X(T)}{X(t)}|X(t))$
Я не понимаю, почему можно вынести $X(t)$ за знак ожидания.

Затем, подставив $Y$, имеем
$=X(t)E(e^{Y(T)-Y(t)}|e^{Y(t)})$.
Это понятно. Но дальше
$=X(t)E(e^{Y(T)-Y(t)}})$.
Почему это так?
Помогите, пожалуйста, разобраться.

[id]

anna91

Цитата:

Я не понимаю, почему можно вынести $X(t)$ за знак ожидания.

Это стандартная теорема об условных мат. ожидания, ведь $X(t)$ измерима относительно $X(t)$. (см., например, Ширяев, "Вероятность" )

[Alexey1]

Запись $E[X(T) | X(t)]$ можно записать по другому как $E[X(T) | X(t) = c]$, где $c$ - некоторая константа. То есть Вам известно значение $X$ в момент времени $t$ и требуется определить его среднее значение в момент времени $T$. По свойствам математических ожиданий $E[cX]=cE[X]$. Именно поэтому $X(t)$ можно вынести за знак матожидания, оно известно.
Что касается другой записи, то здесь используется свойство независимости приращений Броуновского движения, то есть если $Y(T)-Y(t)$ независимы от $Y(t)$, то $E[Y(T)-Y(t) | Y(t)]=E[Y(T)-Y(t)]$.

[anna91]

id, я слышала про эту книгу, но пока у меня нет возможности ее достать.
Alexey1, cпасибо, сейчас понятнее.

[id]

anna91
В Интернете есть электронная версия, находится с помощью http://www.poiskknig.ru/