найти значение Min

[daogiauvang]

Найти наименшее значение выражения:

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{2008}}{a_{2009}}$$

где $a_1,a_2,\cdots, a_{2009}>0$ и $a_i \geq a_1+a_2+\cdots+a_{i-1}$ для всех $ 2 \leq i \leq 2009$

[Профессор Снэйп]

А оно вообще существует, это наименьшее значение?

Мне почему-то кажется, что в виде подобной суммы могут быть представлены сколь угодно малые положительные числа. Инфимум всех чисел, представляемых таким образом, естественно, равен нулю. Но ноль в виде подобной суммы представить нельзя.

Или я что-то неправильно понимаю?

[covax]

Наибольшее, может быть?

[Руст]

$inf =0$.

[daogiauvang]

Да, Я ошибился.
Задача такая: Наибольшее значение

[ИСН]

Там такая же засада: супремум равен 2008 и не достигается. Это если $a_i$ - действительные числа.

-- Пн, 2009-08-10, 17:41 --

а, не-е-ет, там хитрее...

[мат-ламер]

Может не 2008, а 1005?

[ewert]

1004.5

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #234120 писал(а):

1004.5

А с доказательством можно ознакомиться? Мне интересно.

[ewert]

Нет, не можно. Поскольку очевидно (но вот тут-то мне доказывать и лень), что максимум достигается тогда, когда неравенства превращаются в равенства.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #234168 писал(а):

...минимум достигается тогда, когда...

Мы же вроде договорились, что не минимум, а максимум достигаем

Вот если брать не $a_1, \ldots, a_{2009}$, а $a_1, \ldots, a_k$ для произвольного натурального $k$. Каким будет ответ?

Если я верно понял, то сумма будет максимальной, когда $a_2 = a_1$, $a_3 = a_1 + a_2$ и т. д... При $k=2$ это очевидно. Может, дальше индукцией по $k$ можно?

[daogiauvang]

Ответ правильно, но решение и не правильно.

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots \leq \frac{a_1}{a_1}+\frac{a_2}{a_1+a_2}+ \cdots+$

Правое выражение непостоянное, значит мы не смогли сделать вывод, когда неравенства превращаются в равенства.

[Sonic86]

Максимум достигается при $a_i = a_1 + ... + a_{i-1}$. Для этого можно сделать подстановку $a_i = x_i + (a_1 + ... + a_{i-1}), x_i \geq 0$, подставить - получим функцию $f(x_1,...,x_n)$ при $x_i \geq 0$, которая убывает по каждой переменной, а значит имеет минимум в точке $(0,...,0)$.

[TOTAL]

Sonic86 в сообщении #234264 писал(а):

подставить - получим функцию $f(x_1,...,x_n)$ при $x_i \geq 0$, которая убывает по каждой переменной

Вы проверяли, действительно убывает?

[Sonic86]

TOTAL писал(а):

Sonic86 писал(а):

подставить - получим функцию, которая убывает по каждой переменной

Вы проверяли, действительно убывает?

не убывает - там по каждой переменной часть слагаемых постоянна, одно убывает, а остальные растут, так что неясно - наврал