А слабо найти интеграл?

[Nxx]

$\int \frac{x^2+2x+1+ (3x+1)\sqrt{x+\ln x}}{x\,\sqrt{x+\ln x}(x+\sqrt{x+\ln x})} \, dx$

В элементарных функциях.

[citadeldimon]

Не слабо!!! Потратил минут 10, идея такая (решение набирать не буду - лень):
1. Почленно делим числитель на знаменатель, получаем 5 интегралов.
2. Использовав производную от $\ln(x+\sqrt{x+\ln x}),$ дважды собираем $\ln(x+\sqrt{x+\ln x})$.
3. Остается четыре интеграла, которые можно собрать в два. В этих интегралах загоняем под дифференциал $x+\ln x$.
4. Теперь объединяем эти два интеграла в один и простыми исчислениями, после сокращения, его можно посчитать, а именно он равный $2\sqrt{x+\ln x}.$
5. В итоге получаем $2\ln(x+\sqrt{x+\ln x})+2\sqrt{x+\ln x}+C.$
Nxx, большое спасибо за хорошую задачку. Думаю ответ правильный, хотя ничем его не проверял

[Nxx]

Да, пример взят отсюда: http://www-sop.inria.fr/cafe/Manuel.Bro ... ssac98.pdf

-- Чт авг 06, 2009 01:38:17 --

Ни одна система компьютерной алгебры его решить не может.

[citadeldimon]

Nxx в сообщении #233204 писал(а):

Да, пример взят отсюда: http://www-sop.inria.fr/cafe/Manuel.Bro ... ssac98.pdf

Ну и решение там - просто загогулина, а оказывается можно посчитать обычными методами анализа. От тебе и явная иллюстрация красоты математики и отдельных "красивых" решений.