Стационарные точки функции [Решено, проверьте]

[LaraKroft]

Здравствуйте, проверьте, пожалуйста, правильно ли я решила:

Найдите стационарные точки и максимум функции $f\left( {x,y,z} \right) = {x^2} + 9{y^2} +100{z^2}$, если ${x^6} + {y^6} + {z^6} = 1.$

Решение: ${x^6} + {y^6} + {z^6} = 1 \Leftrightarrow {x^6} = 1 - {y^6} - {z^6} \Leftrightarrow {x^2} = \sqrt[3]{{1 - {y^6} - {z^6}}}.$

Тогда $f\left( {y,z} \right) = \sqrt[3]{{1 - {y^6} - {z^6}}} + 9{y^2} + 100{z^2}.$

$\left\{ \begin{gathered} \frac{d} {{dy}}f\left( {y,z} \right) = - \frac{{2{y^5}}} {{{{\left( {1 - {y^6} - {z^6}} \right)}^{2/3}}}} + 18y = 0, \hfill \\ \frac{d} {{dz}}f\left( {y,z} \right) = - \frac{{2{z^5}}} {{{{\left( {1 - {y^6} - {z^6}} \right)}^{2/3}}}} + 200z = 0; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9y{\left( {1 - {y^6} - {z^6}} \right)^{2/3}} = {y^5}, \hfill \\ 100z{\left( {1 - {y^6} - {z^6}} \right)^{2/3}} = {z^5}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y_1} = 0,{\text{ }}{z_1} = 0. \hfill \\ {\left( {1 - {y^6} - {z^6}} \right)^{2/3}} = \frac{{{y^4}}} {9}, \hfill \\ {\left( {1 - {y^6} - {z^6}} \right)^{2/3}} = \frac{{{z^4}}} {{100}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y_1} = 0,{\text{ }}{z_1} = 0. \hfill \\ \frac{{{y^4}}} {9} = \frac{{{z^4}}} {{100}}, \hfill \\ 1 - {y^6} - {z^6} = \frac{{{z^6}}} {{1000}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y_1} = 0,{\text{ }}{z_1} = 0. \hfill \\ {y^6} = \frac{{27}} {{1000}}{z^6}, \hfill \\ \frac{{257}} {{250}}{z^6} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y_1} = 0,{\text{ }}{z_1} = 0. \hfill \\ {y^6} = \frac{{27}} {{1028}}, \hfill \\ {z^6} = \frac{{250}} {{257}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y_1} = 0,{\text{ }}{z_1} = 0. \hfill \\ {y_{2,3}} = \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}} {{1028}}}},{\text{ }}{z_{2,3}} = \pm \sqrt[6]{{\frac{{250}} {{257}}}}. \hfill \\ {y_{4,5}} = \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}} {{1028}}}},{\text{ }}{z_{4,5}} = \mp \sqrt[6]{{\frac{{250}} {{257}}}}. \hfill \\ \end{gathered} \right$.

${x^2} = 1 \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \pm 1.$

${x^2} = \sqrt[3]{{1 - \frac{{27}}{{1028}} - \frac{{250}}{{257}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{1028}}}} \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \pm \frac{1}{{\sqrt[6]{{1028}}}}.$

Здесь и не могу разобраться: сколько же имеет функция $f\left( {x,y,z} \right) = {x^2} + 9{y^2} +100{z^2}$ стационарных точек в сфере ${x^6} + {y^6} + {z^6} = 1.$??

С максимумом вроде понятно:

${\left( {\frac{1} {{\sqrt[6]{{1028}}}}} \right)^2} + 9{\left( {\sqrt[6]{{\frac{{27}} {{1028}}}}} \right)^2} + 100{\left( {\sqrt[6]{{\frac{{250}} {{257}}}}} \right)^2} = \frac{1} {{\sqrt[3]{{1028}}}} + 9 \cdot \frac{3} {{\sqrt[3]{{1028}}}} + 100 \cdot \frac{{10}} {{\sqrt[3]{{1028}}}} =$

$= \frac{{1028}}{{\sqrt[3]{{1028}}}} = \sqrt[3]{{{{1028}^2}}} = \sqrt[3]{{1056784}} = \sqrt[3]{{8 \cdot 132098}} = 2\sqrt[3]{{132098}}.$

Пробовала по Лагранжу, но получается не очень удоборешаемая система.

[мат-ламер]

Мне так кажется, что с помощью множителей Лагранжа по-проще будет. По крайней мере будет возможность сравнить два варианта решения. В системе уравнений с множителями Лагранжа в первых трёх уравнениях выразите двойственную переменную через прямые. Это даст нам соотношения между прямыми переменными, которые можно подставить в четвёртое уравнение.

-- Ср авг 05, 2009 17:46:05 --

Что-то очень объёмная задача. У меня получилось слишком много стационарных точек (26 по предварительным прикидкам, но это надо уточнить), с которыми ещё надо разбираться - где там экстремум, а где нет. Наверное в задаче скрыт какой-то подвох и есть простое элегантное решение (а может и нет).

-- Ср авг 05, 2009 17:52:22 --

А в задаче анализ всех точек не нужен. Достаточно их просто перечислить. Затем вычислить значение функции в каждой точке. Отсюда найдётся максимальная точка (или точки).

-- Ср авг 05, 2009 18:01:04 --

Насчёт Вашего максимума не так очевидно. Возьмём точку $x=0, y=0, z=1$. В этой точке значение функции - $100$. Но, является ли это максимумом - не очевидно.

-- Ср авг 05, 2009 18:18:55 --

Стационарные точки можно перечислить так. Во-первых, эти точки, у которых две координаты занулены. Их шесть. Затем точки, у которых нулевая одна координата. Для каждой координаты их четыре. Всего - 12. И точки, у которой все координаты ненулевые. Их восемь. При подсчёте можно использовать то, что если какая-либо точка стационарна, то будет стационарна также и точка, у которой какая-либо ненулевая координата идёт с обратным знаком. Итого получается 26 точек.

[LaraKroft]

Спасибо!

Я думаю, максимум функции и есть $2\sqrt[3]{{132098}} \approx {\text{101}}{\text{.8580622}}$, если я правильно поняла, то он достигается во всех стационарных точках, кроме точкек, где идут комбинации двух нулей и единицы.

Или я опять запуталась??

[vvvv]

Интересно, кто-нибуть из обсуждающих тему, представляют себе множества ( графики поверхностей), удовлетворяющих заданной функции и уравнению ограничения

[bubu gaga]

Замените квадраты на дополнительные переменные. Приравняйте градиенты границы и целевой функции (с коэффициентом пропорциональности). Найдите этот коэффициет. Потом уже сами точки.

Примерно так.

[мат-ламер]

LaraKroft в сообщении #233140 писал(а):

Я думаю, максимум функции и есть $2\sqrt[3]{{132098}} \approx {\text{101}}{\text{.8580622}}$, если я правильно поняла, то он достигается во всех стационарных точках, кроме точкек, где идут комбинации двух нулей и единицы.

У меня получился такой же максимум. Достигается он в восьми симметричных точках, где все координаты отличны от нуля. В двадцати других стационарных точках значение функции будет меньше.

[nn910]

vvvv в сообщении #233192 писал(а):

Интересно, кто-нибуть из обсуждающих тему, представляют себе множества ( графики поверхностей), удовлетворяющих заданной функции и уравнению ограничения :)

Сейчас.Упростим$u=x^2$ $v=y^2$ $w=z^2$
$u+9v+100w$ при $u^3+v^3+w^3=1$
Плоскость и внебрачный нето сын ,нето дочь сферы и куба

[Circiter]

2LaraKroft

Цитата:

Пробовала по Лагранжу, но получается не очень удоборешаемая система.

Хм, вроде-бы довольно компактно получается.

Обозначим $\xi=(\xi_i)_{i=1}^3=(x^2,y^2,z^2)$, а затем перепишем целевую функцию $\psi(\xi)=\xi_1+9\xi_2+100\xi_3$ и ограничения $\varphi(\xi)=\sum_i\xi_i^3-1=0$.

Теперь составим лагранжиан $\mathcal{L}(\xi,\lambda)=\psi(\xi)-\lambda\varphi(\xi)$ и решим $\nabla\mathcal{L}=0$, для чего сначала приравняем к нулю $\partial\mathcal{L}/\partial\xi=(1-2\lambda\xi_1^2,\ 9-2\lambda\xi_2^2,\ 100-2\lambda\xi_3^2)=0$. Отсюда \begin{equation}\xi_1^2=\frac{1}{2\lambda},\ \xi_2^2=\frac{9}{2\lambda},\ \xi_3^2=\frac{100}{2\lambda}.\end{equation}

Полученные $\xi_i$ подставляем (используя тождество $\xi_i^3=(\xi_i^2)^{3/2}$) в $\partial\mathcal{L}/\partial\lambda=-\varphi(\xi)=0$, откуда находим $2\lambda=1028^{2/3}$ и подставляем это выражение в (1).

Теперь, учитывая ранее сделанную замену, находим точки ($2^3$ штук?) условных экстремумов (критические, i.e. стационарные точки): $x=\pm1028^{-1/6}$, $y=\pm1028^{-1/6}\sqrt{3}$, $z=\pm1028^{-1/6}\sqrt{10}.$ Причем, похоже, что все они доставляют целевой функции максимальное значение, вы его уже вычислили.

Итак, остаются два вопроса:

1. Может быть стационарных точек здесь не так много, всего 8, а не 26 штук???
2. Может быть точка максимума всего одна (с положительными компонентами)?

2мат-ламер

Цитата:

Стационарные точки можно перечислить так. Во-первых, эти точки, у которых две координаты занулены

Такие точки, конечно удовлетворяют данной функции и ограничениям, но разве они стационарны, т.е. разве в них производная равна нулю?

2nn910

Цитата:

Плоскость и внебрачный нето сын ,нето дочь сферы и куба

Кажется, вы забыли про обратную замену. Здесь будет не плоскость, а что-то явно нелинейное.

[nn910]

Circiter в сообщении #234245 писал(а):

2nn910

Цитата:

Плоскость и внебрачный нето сын ,нето дочь сферы и куба

Кажется, вы забыли про обратную замену. Здесь будет не плоскость, а что-то явно нелинейное.

Я сижу в своих координатах, а LaraKroft в своих. Надо найти экстремум -вот оно число,по неравенству Гельдера. Еще нули (стационарные точки формулы замены) для каждой из координат посмотрел - и спокоен. А про Вас вспоминаю по Вашей же инициативе. Каждому - свои координаты.

[Circiter]

2nn910
Я не силен в литературе. Можно по-простому, по-деревенски? Кто кого вспоминает? Ничего не понял...

[мат-ламер]

Circiter. Польза от введения новых переменных именно в данной задаче сомнительна. Исходная задача была задачей с ограничениями типа равенств. После введения новых переменных получаем задачу, заданную на положительном ортанте. Вы её решали как будто это задача с одним ограничением типа равенства. Поэтому потеряли стационарные точки, в которых одна или две координаты обращаются в нуль. В нашей задаче (без введения новых переменных) в стационарной точке градиент максим. функции перпендикулярен касательной плоскости к ограничению.

[nn910]

Circiter в сообщении #234272 писал(а):

2nn910
Я не силен в литературе. Можно по-простому, по-деревенски? Кто кого вспоминает? Ничего не понял...

Как указал vvvv ,число и роль(макс или мин) стационарных точек видны из геом.соображений. Как
посоветовал bubu gaga, перейти к квадратам и смотреть поверхности в новых координатах,видно что в новых макс.один в точке касания. Для векторов t=(u,v,w) и c=(1,9,100) подберем неравенство Гельдера:

$$|1*u+9*v+100w|=|(t,c)|\leq||t||_3 *||c||_{1,5} =(u^3+v^3+w^3)*(1+9^{1,5} +100^{1,5})^{\dfrac{2}{3}} =1028^\dfrac{2}{3}$$

причем равенство для пропорциональных векторов t,c.Случай когда одна из переменных =0 тоже геометрически очевиден. Вот так хорошо в хороших координатах.Читайте книги,зарядите поиск.

-- Вт авг 11, 2009 11:00:03 --

мат-ламер в сообщении #234275 писал(а):

Circiter. Польза от введения новых переменных именно в данной задаче сомнительна. Исходная задача была задачей с ограничениями типа равенств. После введения новых переменных получаем задачу, заданную на положительном ортанте. Вы её решали как будто это задача с одним ограничением типа равенства. Поэтому потеряли стационарные точки, в которых одна или две координаты обращаются в нуль. В нашей задаче (без введения новых переменных) в стационарной точке градиент максим. функции перпендикулярен касательной плоскости к ограничению.

Ну я уже 3поста назад написал,что точки.в которых производная хоть одной формулы замены обратится в 0, подлежат дополнительному исследованию.

[Circiter]

2мат-ламер & nn910

Спасибо за объяснения, но если вас не затруднит, не могли бы вы просто привести любой один "контрпример" к моим рассуждениям? То есть не могли бы вы указать любую "необычную" стационарную точку (в которой есть нулевые компоненты), потом подставить её в исходные уравнения, и показать, что она действительно стационарна?

У меня не получается придумать ни одной такой точки, и единственный пример меня вполне бы устроил...

P.S.: Честно говоря, для меня все равно непонятно, как безобидное введение чисто символьных обозначений может изменить смысл задачи... Я перерешал без дополнительных обозначений и получил тот же ответ... Похоже, действительно надо что-нибудь почитать... Но что?

[мат-ламер]

Circiter. Абсолютно не понял Ваш вопрос. Может это от того, что мы по-разному понимаем стационарные точки. Возможно, Вы под стационарными понимаете точки, в которых производные исследуемой функции обращаются в нуль. Это так для задач без ограничений. В рассматриваемой задаче под стационарными подразумевались точки, которые удовлятворяют системе уравнений Лагранжа. В этих точках градиент исследуемой функции линейно выражается через нормали к ограничениям, и обращается в нуль градиент функции Лагранжа. Возможно в разных книгах они называются по-разному. Надо будет посмотреть. Конкретно в рассм. задаче возьмите точку $(0,0,1)$. Найдите в ней градиент иссл. функции и убедитесь, что он перпедикулярен касательной плоскости к ограничению.

[nn910]

Circiter в сообщении #234333 писал(а):

2мат-ламер & nn910

Спасибо за объяснения, но если вас не затруднит, не могли бы вы просто привести любой один "контрпример" к моим рассуждениям? То есть не могли бы вы указать любую "необычную" стационарную точку (в которой есть нулевые компоненты), потом подставить её в исходные уравнения, и показать, что она действительно стационарна?

У меня не получается придумать ни одной такой точки, и единственный пример меня вполне бы устроил...

P.S.: Честно говоря, для меня все равно непонятно, как безобидное введение чисто символьных обозначений может изменить смысл задачи... Я перерешал без дополнительных обозначений и получил тот же ответ... Похоже, действительно надо что-нибудь почитать... Но что?

Любая из точек, где 2 координаты=0,а одна +или-1.Обозначения мои(раньше Ваших вводил):$u=x^2$ ,$v=y^2$ ,$w=z^2$,$f(x,y,z)=x^2+9y^2+100z^2$, $g(x,y,z)=x^6+y^6+z^6 -1$.Нигде при g=0 вектор градиента$g'=(g'_x ,g'_y ,g'_z )=(6x^5 ,6y^5 ,6z^5$ не обращается в 0. Условие стационарности точки : $f'=\lambda*g'$- вектор градиента f пропорционален вектору градиента g. Если Ваши сомнения в этом, обсужу в отдельном посте(поговорим про геометрию.Но Вы сторонник методов алгебры). По Вашему вопросу все, т.к.$f'=(2x ,18y ,200z)$при указанных значениях пропорционален g'.
Почему это свойство исчезает при замене.$f'_u =f'_x /u'_x$ $g'_u =g'_x /u'_x$ переводит уравнения Лагранжа в новые переменные только при $u'_x$ не равной 0. Что и привело к потере стац.точек