банаховы пространства

[terminator-II]

Оччччень простая задача. $(X,\|\cdot\|)$ -- банахово пространство.
Имеется другая норма $|\cdot|$ относительно которой $X$ тоже банахово, причем известно, что $\|\cdot\|\le c|\cdot|$.

Доказать, что $\|\cdot\|\ge c'|\cdot|$.

[id]

Теорема Банаха об обратном операторе для тождественного оператора?

[terminator-II]

Именно так: теорема Банаха об обратном операторе для Вашего ника

[AGu]

Думаю, в эту тему вписывается и такая задачка:

Если $X$ -- бесконечномерное векторное пространство над $\mathbb R$ или $\mathbb C$,
то существуют несравнимые нормы $\|{\cdot}\|,\|{\cdot}\|':X\to\mathbb R$.

На всякий случай напомню: нормы $\|{\cdot}\|$ и $\|{\cdot}\|'$ сравнимы,
если $(\exists\,c\geqslant0)(\forall\,x\in X)(\|x\|\leqslant c\|x\|')$ или $(\exists\,c\geqslant0)(\forall\,x\in X)(\|x\|'\leqslant c\|x\|)$.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #233020 писал(а):

Думаю, в эту тему вписывается и такая задачка:

Если $X$ -- бесконечномерное векторное пространство над $\mathbb R$ или $\mathbb C$,
то существуют несравнимые нормы $\|{\cdot}\|,\|{\cdot}\|':X\to\mathbb R$.

На всякий случай напомню: нормы $\|{\cdot}\|$ и $\|{\cdot}\|'$ сравнимы,
если $(\exists\,c\geqslant0)(\forall\,x\in X)(\|x\|\leqslant c\|x\|')$ или $(\exists\,c\geqslant0)(\forall\,x\in X)(\|x\|'\leqslant c\|x\|)$.

Как-то слишком просто

Пусть $\mathcal{E}$ --- базис Гамеля для $X$ и $\mathcal{E}_1 = \{ e^1_1, e^1_2, \ldots \}$, $\mathcal{E}_2 = \{ e^2_1, e^2_2, \ldots \}$ --- счётные непересекающиеся подмножества $\mathcal{E}$. Для $i=1,2$ и $e \in \mathcal{E}$ пусть

$$ \mu^i_e = \begin{cases} j, & e = e^i_j \\ 1, & \text{иначе} \end{cases} $$

Пусть теперь $x \in X$. Для этого $x$ найдутся $e_1, \ldots, e_k \in \mathcal{E}$ и $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ из поля скаляров, такие что $x = \lambda_1e_1 + \ldots + \lambda_ke_k$. Для $i = 1,2$ полагаем $\| x \|_i = | \mu_{e_1}^i \lambda_1 | + \ldots + | \mu_{e_k}^i \lambda_k |$. Нормы определены корректно, и всё, что нужно, выполняется.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #233035 писал(а):

Как-то слишком просто

Я не сомневался в Вашей крутоте, Профессор.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #233042 писал(а):

Я не сомневался в Вашей крутоте, Профессор.

Крутизне, гы-гы

Должен заметить, что теорему Банаха об обратном операторе я уже не помню, и первую задачу в теме был решить не в состоянии. Так что не очень я крут

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #233096 писал(а):

AGu в сообщении #233042 писал(а):

Я не сомневался в Вашей крутоте, Профессор.

Крутизне, гы-гы

ЛЕКСЕМА "КРУТОЙ" писал(а):

крутота – (мол. одобр.). Очень высокое качество, высший уровень чего-либо (Вот это крутота!)

[Профессор Снэйп]

Тогда "не очень я крутот"