Число целочисленных точек

[LaraKroft]

Надо найти число целочисленных точек
$\left\{ \begin{gathered} 2x - 4 \leqslant y \leqslant - 3x + 40 - 3y, \hfill \\ x \geqslant 0,{\text{ }}y \geqslant 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Получила $\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant \frac{{56}} {{11}}, \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant \frac{{68}} {{11}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \left\{ {0;{\text{ }}1;{\text{ }}2;{\text{ }}3;{\text{ }}4;{\text{ }}5} \right\}, \hfill \\ y = \left\{ {0;{\text{ }}1;{\text{ }}2;{\text{ }}3;{\text{ }}4;{\text{ }}5;{\text{ }}6} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Как определить число целочисленных точек?
Вроде бы какие-то факториалы. Подскажите формулу.

[ewert]

LaraKroft в сообщении #232788 писал(а):

Надо найти число целочисленных точек
$\left\{ \begin{gathered} 2x - 4 \leqslant y \leqslant - 3x + 40 - 3y, \hfill \\ x \geqslant 0,{\text{ }}y \geqslant 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Получила $\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant \frac{{56}} {{11}}, \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant \frac{{68}} {{11}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. $

Ну и нет, конечно. Область -- действительно четырёхугольник, но вовсе не прямоугольный. Аккуратно нарисуйте её на бумаге в клеточку и тупо пальчиками пересчитайте количество целочисленных точек (проверяя для сомнительных точек неравенства явно).

[ИСН]

Факториалы наши такие:
1. Выдрать из тетради листочек в клеточку.
2. Карандашом аккуратно нарисовать оси и границы.
3. Жирной красной ручкой поставить точки.
4. Посчитать.

-- Вт, 2009-08-04, 12:28 --

"Great minds think alike", ага.

[Профессор Снэйп]

LaraKroft в сообщении #232788 писал(а):

Надо найти число целочисленных точек
$\left\{ \begin{gathered} 2x - 4 \leqslant y \leqslant - 3x + 40 - 3y, \hfill \\ x \geqslant 0,{\text{ }}y \geqslant 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Получила $\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant \frac{{56}} {{11}}, \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant \frac{{68}} {{11}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \left\{ {0;{\text{ }}1;{\text{ }}2;{\text{ }}3;{\text{ }}4;{\text{ }}5} \right\} \right\}, \hfill \\ y = \left\{ {0;{\text{ }}1;{\text{ }}2;{\text{ }}3;{\text{ }}4;{\text{ }}5;{\text{ }}6} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Как определить число целочисленных точек?
Вроде бы какие-то факториалы. Подскажите формулу.

У Вас $x$ и $y$ --- это числа, а не множества. Поэтому Ваша запись некорректна. Правильнее будет так:

$$ \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant \frac{{56}} {{11}}, \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant \frac{{68}} {{11}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x \in \left\{ 0,1,2,3,4,5 \right\}, \hfill \\ y \in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right. $$

Значение $x$ выбирается из шестиэлементного множества, значение $y$ --- из семиэлементного. Следовательно, количество "целочисленных точек" будет равно $6 \cdot 7 = 42$.

-- Вт авг 04, 2009 14:34:28 --

ewert в сообщении #232791 писал(а):

Ну и нет, конечно...

Хм... Я правильность решения неравенства не проверял. А зря.

Вообще странно, что человек, столь хорошо набирающий формулы в \LaTeX, испытывает трудности со столь элементарной задачей. Хотя есть, конечно, копипаст

[LaraKroft]

Так ewert написал, что не прямоугольник; квадрат?
Так что ли
$\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant \frac{{56}} {{11}}, \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant \frac{{68}} {{11}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x \in \left\{ {0;{\text{ }}1;{\text{ }}2;{\text{ }}3;{\text{ }}4;{\text{ }}5} \right\}, \hfill \\ y \in \left\{ {0;{\text{ }}1;{\text{ }}2;{\text{ }}3;{\text{ }}4;{\text{ }}5} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

То имеем $6 \times 6 = 36$??

Так квадрат или прямоугольник?

[TOTAL]

Профессор Снэйп в сообщении #232794 писал(а):

Следовательно, количество "целочисленных точек" будет равно $6 \cdot 7 = 42$.

Чуть-чуть подправлю: $6 \cdot 7 = 41$

[LaraKroft]

TOTAL в сообщении #232797 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #232794 писал(а):

Следовательно, количество "целочисленных точек" будет равно $6 \cdot 7 = 42$.

Чуть-чуть подправлю: $6 \cdot 7 = 41$

TOTAL, что за юмор?

[TOTAL]

LaraKroft в сообщении #232799 писал(а):

TOTAL, что за юмор?

Можете удостовериться в правильности ответа, решив другим способом.
В неравенстве $2x-4 \le y \le 10- 3x/4$ полагайте $x=0, 1, ..., 5$ и находите количество решений.
(не забудьте, что $y \ge 0$. И ни в коем случае ничего не рисуйте!)

[Профессор Снэйп]

LaraKroft в сообщении #232799 писал(а):

TOTAL, что за юмор?

Ага. Умножаем чётное число на натуральное и получаем нечётное

[ewert]

LaraKroft в сообщении #232799 писал(а):

TOTAL, что за юмор?

TOTAL, видимо, честно нарисовал, а у меня под рукой бумажки в клетку нет, так что поверим ему на слово.

LaraKroft в сообщении #232796 писал(а):

Так квадрат или прямоугольник?

Во-первых: что значит "или"? -- квадрат есть частный случай прямоугольника. Во-вторых: ни квадрат, ни прямоугольник -- у него границы справа и сверху скошены.

[LaraKroft]

Sorry!

-- Вт авг 04, 2009 12:56:54 --

Ребята, спасибо конечно за помощь!

Но вы меня запутали, так какой ответ правильный???

-- Вт авг 04, 2009 13:06:56 --

LaraKroft в сообщении #232796 писал(а):

Так квадрат или прямоугольник?

Цитата:

Во-первых: что значит "или"? -- квадрат есть частный случай прямоугольника. Во-вторых: ни квадрат, ни прямоугольник -- у него границы справа и сверху скошены.

ewert, а с чего область не прямоугольник??
$x$ левее ординат, но правее $\frac{{56}}{{11}}$, $y $ выше оси абсцисс, но ниже $\frac{{68}}{{11}}$ - разве не так??

[ewert]

LaraKroft в сообщении #232807 писал(а):

ewert, а с чего область не прямоугольник??
$x$ левее ординат, но правее $\frac{{56}}{{11}}$, $y $ выше оси абсцисс, но ниже $\frac{{68}}{{11}}$ - разве не так??

Ну положим Вы перепутали лево-право, но не суть, я тоже часто так делаю. А суть в том, что эти ограничения не по делу. Упомянутые Вами числа -- это координаты пересечения двух соответствующих наклонных линий. Которыми (линиями) область и ограничена, а вовсе не этими координатами.

TOTAL в сообщении #232802 писал(а):

И ни в коем случае ничего не рисуйте!

И ни в коем случае никогда так не советуйте!

Нарисовать надо -- обязательно. Пользоваться ли этим рисунком потом для конкретного счёта -- вопрос уже совсем другой, это, в общем-то, дело вкуса. Но без рисунка -- в ситуации не разберёшься. Как, собственно, и показывает эта ветка.

[maxal]

LaraKroft в сообщении #232788 писал(а):

Надо найти число целочисленных точек
$\left\{ \begin{gathered} 2x - 4 \leqslant y \leqslant - 3x + 40 - 3y, \hfill \\ x \geqslant 0,{\text{ }}y \geqslant 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Получила $\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant \frac{{56}} {{11}}, \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant \frac{{68}} {{11}}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \left\{ {0;{\text{ }}1;{\text{ }}2;{\text{ }}3;{\text{ }}4;{\text{ }}5} \right\}, \hfill \\ y = \left\{ {0;{\text{ }}1;{\text{ }}2;{\text{ }}3;{\text{ }}4;{\text{ }}5;{\text{ }}6} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Как определить число целочисленных точек?
Вроде бы какие-то факториалы. Подскажите формулу.

Точки с $x=0$ легко подсчитываются отдельно, а остальные так:

$$\sum_{x=1}^5 \left\lfloor \frac{-3x+40}4 \right\rfloor - (2x - 4) + 1 = \sum_{x=1}^5 \left\lfloor \frac{-11x+60}4 \right\rfloor$$

[ewert]

Тогда уж так:

$$\sum_{x=0}^2\left[-{3x\over4}+11\right]+\sum_{x=3}^5\left[-{3x\over4}+15-2x\right]=\sum_{y=0}^6\left[{y\over2}+3\right]+\sum_{y=7}^{10}\left[{43-4y\over3}\right]=41.$$

Второй способ немножко муторнее для счёта, но зато логически проще: в первом существенно используется, что нижняя прямая проходит по целочисленным точкам, иначе выражение бы в полтора раза усложнилось.

(Первое выражение происходит из:
$\sum_{x=0}^2\left(\left[-{3x\over4}+10\right]+1\right)+\sum_{x=3}^5\left(\left[-{3x\over4}+10\right]+1-(2x-4)\right).$)

[TOTAL]

ewert в сообщении #233238 писал(а):

Тогда уж так:

$$\sum_{x=0}^2\left[-{3x\over4}+11\right]+\sum_{x=3}^5\left[-{3x\over4}+15-2x\right]=\sum_{y=0}^6\left[{y\over2}+3\right]+\sum_{y=7}^{10}\left[{43-4y\over3}\right]=41.$$

Второй способ немножко муторнее для счёта, но зато логически проще: в первом существенно используется, что нижняя прямая проходит по целочисленным точкам, иначе выражение бы в полтора раза усложнилось.

(Первое выражение происходит из:
$\sum_{x=0}^2\left(\left[-{3x\over4}+10\right]+1\right)+\sum_{x=3}^5\left(\left[-{3x\over4}+10\right]+1-(2x-4)\right).$)

Оба решения не засчитываю, т.к. отсутствует рисунок.