Задача по теории вероятности

[NatNiM]

Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в 5 из них товар 1 сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара.
1. Запишите полную систему событий данного испытания. Сколько элементарных исходов приходится на каждое событие?
2. Найдите вероятности всех возможных событий данного испытания.
3. Проверьте правильность вычислений по формуле полной вероятности.

1 и 2 сделала, вот с 3 проблема. Как применить формулу полной вероятности? Что здесь будет предполагаться за гипотезу? Может быть рассмотреть 2 события: A - выбрана едница 1 сорта и B - выбрана единица не 1 сорта. Тогда P(A)=1/2, P(B)=1/2?

Спасибо.

[Alexey1]

Попробуйте ввести условие на первый выбранный товар (всего выбирается 3)
Пусть $A$ - первый сорт, $B$ - не первый сорт.
$P(A,B,B)$ - вероятность выбора 1 единицы первого сорта и 2 единиц второго сорта.
$q$ - событие состоящее в том, что первая выбранная единица первого сорта.
$q'$ - противоположное q.
$P(A,B,B)=P(A,B,B | q) P(q) + P(A,B,B | q') P(q')=(\frac {7} {12})^2 (\frac {5} {12}) + 2(\frac {7} {12} \frac {5} {12}) \frac {7} {12}$.

[NatNiM]

Alexey1 в сообщении #232146 писал(а):

Попробуйте ввести условие на первый выбранный товар (всего выбирается 3)
Пусть $A$ - первый сорт, $B$ - не первый сорт.
$P(A,B,B)$ - вероятность выбора 1 единицы первого сорта и 2 единиц второго сорта.
$q$ - событие состоящее в том, что первая выбранная единица первого сорта.
$q'$ - противоположное q.
$P(A,B,B)=P(A,B,B | q) P(q) + P(A,B,B | q') P(q')=(\frac {7} {12})^2 (\frac {5} {12}) + 2(\frac {7} {12} \frac {5} {12}) \frac {7} {12}$.

Ну тогда таким способом получается значение вероятности 0,4253. А у меня при вычислении вероятности того, что окажется 1 единица первого сорта = 0,4773:
$\[ P\left( A \right) = C_5^1 C_7^2 /C_{12}^3 = 105/220 \approx 0,4773 \] $.

-- Пт июл 31, 2009 10:46:51 --

Я сделала так, не знаю, корректно ли...
Гипотеза: q - 1-ая ед. 1 сорта
p - 1-ая ед. не 1 сорта.
P(q)=5/12, P(p)=7/12.

A-событие ед. 1 сорта, B - событие ед. не 1 сорта.
По формуле полной вероятности:

P(A,B,B)*q+P(B,A,B)*p+P(B,B,A)*q=$\[ \frac{5}{{12}} \cdot \frac{7}{{11}} \cdot \frac{6}{{10}} + \frac{7}{{12}} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{5}{{11}} \cdot \frac{6}{{10}}} \right) \approx 0,477 \]$

[nn910]

Особое мнение. В пункте 2 у Вас очевидно получились 4 числа (обозначаю):$P(A_0)=35/220$
$P(A_1)=105/220$
$P(A_2)=70/220$
$P(A_3)=10/220$
Пусть I= 1сорт у произвольного образца, тогда
$5/12=P(I)=P(I|A_0)P(A_0)+\cdot=\dfrac{105}{220}\dfrac{1}{3}+\dfrac{70}{220}\dfrac{2}{3}+\dfrac{10}{220}=\dfrac{5}{12}$

[NatNiM]

nn910 в сообщении #232183 писал(а):

Особое мнение. В пункте 2 у Вас очевидно получились 4 числа (обозначаю):$P(A_0)=35/220$
$P(A_1)=105/220$
$P(A_2)=70/220$
$P(A_3)=10/220$
Пусть I= 1сорт у произвольного образца, тогда
$5/12=P(I)=P(I|A_0)P(A_0)+\cdot=\dfrac{105}{220}\dfrac{1}{3}+\dfrac{70}{220}\dfrac{2}{3}+\dfrac{10}{220}=\dfrac{5}{12}$

nn910, спасибо за ваше решение! Т.е. мой вариант, я так поняла, не корректен?

[nn910]

NatNiM в сообщении #232198 писал(а):

Т.е. мой вариант, я так поняла, не корректен?

Ну вариантов как-нибудь применить формулу полной вероятности бесконечно много.Мне кажется проверять отсутствие арифметической ошибки в вычислении тех четырех чисел эффективнее именно так.И еще проверить что сумма этих четырех равна 1.

[NatNiM]

nn910 в сообщении #232215 писал(а):

NatNiM в сообщении #232198 писал(а):

Т.е. мой вариант, я так поняла, не корректен?

Ну вариантов как-нибудь применить формулу полной вероятности бесконечно много.Мне кажется проверять отсутствие арифметической ошибки в вычислении тех четырех чисел эффективнее именно так.И еще проверить что сумма этих четырех равна 1.

Ясно. спасибо!

[Yu_K]

NatNiM в сообщении #232124 писал(а):

Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в 5 из них товар 1 сорта.

А что-то про остальные 7 ничего не сказано. Там может быть тоже все первого сорта, или может одна единица первого сорта и 6 не первого, 2 - первого и 5 - не первого и т.д.

[nn910]

Yu_K в сообщении #232387 писал(а):

NatNiM в сообщении #232124 писал(а):

Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в 5 из них товар 1 сорта.

А что-то про остальные 7 ничего не сказано. Там может быть тоже все первого сорта, или может одна единица первого сорта и 6 не первого, 2 - первого и 5 - не первого и т.д. :)

Мы думали что 7 не первого (оптимисты-что высшего),иначе зачем число 5 в условии.