Ужас со случайными величинами

[arseniiv]

Возьмём случайную величину $X = F^{ - 1} (U[0,\;1]) = 1/(U[0,\;1]) - 1$, его функцией распределения будет $F(x) = 1/(x + 1)$, $F(x):{\Cal R} \to (0;\; + \infty )$. Но $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F(x) = 0 \ne 1$. (Да и плотность верочтности тоже оставляет желать... Как она может быть отрицательной?) В чём дело? Ведь выборка из $X$ прекрасно генерируется с помощью стандартного генератора. Она не является случайной величиной?

[venco]

Вы где-то ошиблись, функция распределения будет $\frac x{1+x}$.

[arseniiv]

У меня такой результат не получается

[venco]

Я не очень понял ваши обозначения, поэтому напишу, как их расшифровал.
Есть случайная величина $X$ с равномерным распределением на $[0,1]$.
От неё получаем производную случайную величину $Y=\frac 1 X - 1$, с областью значений $[0,\infty]$.
Функция распределения $X$: $F_X(x)=x, x\in[0,1]$.
Чтобы найти функцию распределения $Y$, надо исходить из определения: $F_Y(x) = P(Y<x)$. Подставьте выражение $Y$ через $X$ и вы получите функцию $F_Y(x)=\frac x{1+x}$.

[Sergey-Cop]

arseniiv в сообщении #231421 писал(а):

Но $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F(x) = 0 \ne 1$.

В чём проблема то? Предел функции распределения равен нулю, дак так оно и должно быть.

А вот интеграл от этой функции должен быть равен единице. А если даже он чуть-чуть не равен, то, полагаю, в пределах допустимого пренебрежения малой вероятности — это несущественно.

[venco]

Sergey-Cop в сообщении #231502 писал(а):

В чём проблема то? Предел функции распределения равен нулю, дак так оно и должно быть.

Функция распределения - это уже интеграл плотности вероятности.
Она должна быть неубывающей, и
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } F(x) = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F(x) = 1$

[Sergey-Cop]

venco в сообщении #231504 писал(а):

Sergey-Cop в сообщении #231502 писал(а):

В чём проблема то? Предел функции распределения равен нулю, дак так оно и должно быть.

Функция распределения - это уже интеграл плотности вероятности.

Хорошо интегральная, дифференциальная функции распределения. Тогда совершенно непонятна логика задания случайной величины, сразу через интеграл.

По-моему, надо «плясать от печки», от дифференциальной функции.

-- 28 июл 2009, 00:45 --

Да и вообще, по-моему, для данной задачи интегральная функция распределения как-то бессмысленна. Исходный диапазон ]0; 1] отображается в другой диапазон значений, и эти плюс-минус бесконечности здесь как-то «не катят». Т.е. за основу нужно брать не "U", а "u".

-- 28 июл 2009, 01:43 --

venco в сообщении #231504 писал(а):

Она должна быть неубывающей, и
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } F(x) = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F(x) = 1$

И действительно, для функции $F_Y(x)=\frac x{1+x}$

$F_Y(0)=0$, а не в пределе к минус бесконечности. Так что в целом это правило здесь как-то не у дел.

[venco]

Sergey-Cop в сообщении #231521 писал(а):

venco в сообщении #231504 писал(а):

Она должна быть неубывающей, и
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } F(x) = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F(x) = 1$

И действительно, для функции $F_Y(x)=\frac x{1+x}$

$F_Y(0)=0$, а не в пределе к минус бесконечности. Так что в целом это правило здесь как-то не у дел.

Область значений $Y$ - $[0,\infty]$, значит
$F_Y(x) = \frac x{1+x}, x \ge 0$
$F_Y(x) = F_Y(0) = 0, x < 0$

[--mS--]

arseniiv в сообщении #231421 писал(а):

Возьмём случайную величину $X = F^{ - 1} (U[0,\;1]) = 1/(U[0,\;1]) - 1$, его функцией распределения будет $F(x) = 1/(x + 1)$, $F(x):{\Cal R} \to (0;\; + \infty )$.

Обозначения действительно неудачные. Тут использован тот факт, что для случайной величины $Y$ с равномерным распределением на отрезке $[0,\,1]$ величина $1-Y$ имеет то же распределение. Поэтому вместо $F^{-1}(Y)$ взята на самом деле $F^{-1}(1-Y)=(1/Y)-1$. Здесь функция распределения $F(x)=1-\frac{1}{x+1}$, $x\geqslant 0$ (при $x$ отрицательных $F(x)=0$).

В равенстве $ F^{ - 1} (U[0,\;1]) = 1/(U[0,\;1]) - 1$ слева и справа под $U[0,\;1]$ следует понимать две разные случайные величины из равномерного распределения. За такую запись автор(а)ов нужно бить по голове, пока не проймёт.

-- Ср июл 29, 2009 17:44:46 --

Sergey-Cop в сообщении #231521 писал(а):

Тогда совершенно непонятна логика задания случайной величины, сразу через интеграл.

Поищите по гуглу "квантильное преобразование". То, что Вы назвали непонятной логикой, есть один из известнейших способов получения случайной величины с заданным распределением.

[arseniiv]

Кстати, "квантильное преобразование" плохо ищется. И ещё: как понять, когда написать $U[0,\;a]$, а когда $a-U[0,\;a]$? Уж ли перебором?

[ewert]

Воистину ужос.

arseniiv в сообщении #231837 писал(а):

И ещё: как понять, когда написать $U[0,\;a]$, а когда $a-U[0,\;a]$? Уж ли перебором?

Лучше всего -- никогда так не писать. Вы смешали в одну кучу саму случайную величину и обозначение для её распределения, да ещё и приплели зачем-то сюда способ генерации. Конечно, из чувства крайнего извращения можно и так поступить. Но для этого придётся сделать вид, будто бы во всей Вселенной существует одна-единственная случайная величина, распределённая по этому закону, а это не всегда выгодно.

[--mS--]

arseniiv в сообщении #231837 писал(а):

Кстати, "квантильное преобразование" плохо ищется.

Первая же ссылка на русском дает определение. Можно по-английски: Galen R. Shorack, Probability for Statisticians или http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling.

[ewert]

Вероятно, под "плохо ищется" имелось в виду всё-таки "плохо считается", и это правда (в случае общего положения).

[Sergey-Cop]

--mS-- в сообщении #231756 писал(а):

Sergey-Cop в сообщении #231521 писал(а):

Тогда совершенно непонятна логика задания случайной величины, сразу через интеграл.

Поищите по гуглу "квантильное преобразование". То, что Вы назвали непонятной логикой, есть один из известнейших способов получения случайной величины с заданным распределением.

Ну, из того, что пишут, как я понял, интеграл нужен для вычисления вероятности. Той, о которой пишет venco: «…из определения: $F_Y(x) = P(Y<x)$». Действительно, только интеграл для этого и годится.

Однако полагаю, это чисто технические проблемы доказательств. А в итоге, вот допустим, у меня есть функция плотности распределения, и она не интегрируема. И что тогда дает "квантильное преобразование"? — «суши весла». Ищи другие пути.


А суть проблемы, действительно, вот в этом и есть:

--mS-- в сообщении #231756 писал(а):

…Поэтому вместо $F^{-1}(Y)$ взята на самом деле $F^{-1}(1-Y)=(1/Y)-1$…

В равенстве $ F^{ - 1} (U[0,\;1]) = 1/(U[0,\;1]) - 1$ слева и справа под $U[0,\;1]$ следует понимать две разные случайные величины из равномерного распределения.

Ха , а в теореме-то использован странный интервал [0; 1]. Так не должно быть.

Интервал-то должен быть либо ]0; 1], либо [0; 1[. Эти две крайние точки в принципе не должны быть вместе в одном интервале. Вот вам и «две разные случайные величины» (два почти одинаковых интервала). Так что этот «известнейший способ получения случайной величины» еще недоработан. Проблема именно в нём.

Смотрим доказательство, и видим, что фактически интервал берется без крайних точек,
т.е. ]0; 1[. Нужная функция задана на основе — именно такого интервала, который без крайних его точек, выделенных отдельно (от функции). Хитро-о. «Одним выстрелом — двух зайцев».

Так что еще дорабатывать и дорабатывать «известнейший метод» квантильного преобразования. А если еще выяснится, что интервал ]0; 1] — это смещенный на единицу интервал ]–1; 0]…— о-о-о, проблема должна быть открыта.

[--mS--]

Sergey-Cop в сообщении #232421 писал(а):

А в итоге, вот допустим, у меня есть функция плотности распределения, и она не интегрируема. И что тогда дает "квантильное преобразование"? — «суши весла». Ищи другие пути.

Плотность распределения есть интегрируемая функция по определению.

Sergey-Cop в сообщении #232421 писал(а):

Ха , а в теореме-то использован странный интервал [0; 1]. Так не должно быть.

Интервал-то должен быть либо ]0; 1], либо [0; 1[. Эти две крайние точки в принципе не должны быть вместе в одном интервале. Вот вам и «две разные случайные величины» (два почти одинаковых интервала). Так что этот «известнейший способ получения случайной величины» еще недоработан. Проблема именно в нём.

Вы не хотите выяснить для себя, что такое равномерное распределение на отрезке $[0,\,1]$? Поверьте, пригодится: бесполезных знаний не бывает.