2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнение Пуассона. Переход из 3d в 2d. Возможно ли? Как?
Сообщение26.07.2009, 12:45 
Аватара пользователя
Есть трехмерное уравнение Пуассона в декартовой системе координат
$\frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial z^2}= \sigma(x,y) \delta(z)$.

($\delta(z)$ - естественно дельта-функция Дирака).

Очень надо перейти к уравнению такого вида
$\frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial y^2}= f(x,y)$.
Как это сделать?

Немного поясню о чем речь. Нужно искать гравитационный потенциал, создаваемый тонким диском в плоскости самого диска. Задача по сути двумерная, но решение корректно при решении 3d пуассона. А решать 3d слишком затратно

То ли интегрировать надо как-то, то ли сверку делать. В общем помогите!

 
 
 
 Re: Уравнение Пуассона. Переход из 2d в 3d. Возможно ли? Как?
Сообщение26.07.2009, 14:19 
В случае подобной плоской задачи можно сразу переходить к двумерному уравнению Пуассона.
Поясню на пальцах:
Возьмем две точки, находящиеся на малом расстоянии и по разные стороны от плоскости. Рассмотрим поведение поля $\vec{a}=-grad\varphi$ в этих точках. Понятно что проекции векторов в этих точках на ось $z$ будут смотреть в разные стороны. Само поле - достаточно хорошая функция, поэтому в плоскоcти $a_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}=0$.
А вообще, такие задачи решаются с помощью функции Грина уравнения Д`Аламбера.

 
 
 
 Re: Уравнение Пуассона. Переход из 3d в 2d. Возможно ли? Как?
Сообщение27.07.2009, 00:47 
А в чем проблема то? Решение выписывается явно в виде ньютоновского потенциала. Присутствие дельта-функции означает интегрирование $\sigma$ по плоскости и все.

 
 
 
 Re: Уравнение Пуассона. Переход из 3d в 2d. Возможно ли? Как?
Сообщение27.07.2009, 21:18 
Аватара пользователя
Трудность в том, что мне не нужно решение. Мне надо привести уравнение к нужному виду

 
 
 
 Re: Уравнение Пуассона. Переход из 3d в 2d. Возможно ли? Как?
Сообщение27.07.2009, 22:27 
Непонятно. Может, так: $\frac{\partial^2\Psi(x,y,0)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi(x,y,0)}{\partial y^2}= f(x,y)$?

 
 
 
 Re: Уравнение Пуассона. Переход из 3d в 2d. Возможно ли? Как?
Сообщение27.07.2009, 22:29 
Аватара пользователя
Диск конечен или это вся плоскость?

 
 
 
 Re: Уравнение Пуассона. Переход из 3d в 2d. Возможно ли? Как?
Сообщение28.07.2009, 09:53 
Аватара пользователя
Конечно конечен

 
 
 
 Re: Уравнение Пуассона. Переход из 3d в 2d. Возможно ли? Как?
Сообщение29.07.2009, 21:12 
Аватара пользователя
Используйте $x^k$-аналитические функции.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group