квадраты и произведения различных натуральных чисел

[maxal]

Для фиксированного натурального числа $k$ определим $q_k$ как минимально возможное максимальное число в наборе из $k$ попарно различных целых чисел больших 1, которые в произведении дают полный квадрат, то есть:

$$q_k = \min t,\ \text{для которого}\ \exists\ m\ \text{и}\ 2\leq n_1<n_2<\dots < n_k = t\ \text{такие, что}\ n_1n_2\cdots n_k = m^2.$$

Докажите, что число $m$ здесь может быть взято равным минимально возможному натуральному числу, квадрат которого представим в виде произведения $k$ попарно различных целых чисел больших 1.

-- Thu Jul 16, 2009 20:36:37 --

Другими словами, для каждого фиксированного натурального $k$ существует набор целых чисел $2\leq n_1<n_2<\dots < n_k$, который удовлетворяет равенству $n_1 n_2 \dots n_k = m^2$ (для некоторого натурального числа $m$) и минимизирует в нём одновременно значения $n_k$ и $m$.

[Профессор Снэйп]

Если посмотреть, как зависят от $k$ минимальные $m$ при малых $k$.

1) $k=1$. Тут понятно: $n_1 = m = 4$.

2) $k=2$. Имеем $n_1n_2=m$, $n_1 \neq n_2$. $m = 16 = 2 \cdot 8$ годится. Ясно, что $m=4$ и $m=9$ не годятся.

3) $k=3$. $m=4,9,16,25$ не годятся, а $m = 36$ вроде годится: $36 = 2 \cdot 3 \cdot 6$.

4) $k=4$. $m \leqslant 36$ и $m = 49, 64, 81, 100, 121$ не годятся. A $m=144$ вроде годится: $144 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6$.

5) $k=5$. Похоже, $m = 1296 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 9$. Потому что если в разложение $m$ входит пятёрка (или ещё большие простые числа), то она будет входить как минимум в два числа из набора пяти чисел и результат явно будет хуже.

Не эта последовательность, случайно?

[venco]

Конечно эта: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A081454

[maxal]

Последовательность $q_k$ - это A081455, последовательность минимальных $m$ - это A081457.
Если интересует больше членов - то вот они (мой последний апдейт еще не попал в OEIS):

$q_k = \text{A081455}(k+1)$: 4, 8, 6, 6, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 16, 18, 20, 20, 22, 24, 24, 25, 26, 26, 28, 28, 30, 32, 34, 34, 35, 36, 38, 38, 40, 42, 44, 44, 45, 46, 46, 46, 48, 49, 50, 52

$m_k = \text{A081457}(k+1)$: 2, 4, 6, 12, 36, 120, 240, 720, 2520, 10080, 30240, 120960, 725760, 1814400, 7257600, 26611200, 159667200, 958003200, 4790016000, 10378368000, 62270208000, 261534873600, 1307674368000, 7846046208000, 62768369664000

-- Fri Jul 17, 2009 12:01:51 --

Кстати, представляют интерес также сигнатуры (показатели простых в разложении) чисел $m$ - они таковы:

[1]
[2]
[1, 1]
[2, 1]
[2, 2]
[3, 1, 1]
[4, 1, 1]
[4, 2, 1]
[3, 2, 1, 1]
[5, 2, 1, 1]
[5, 3, 1, 1]
[7, 3, 1, 1]
[8, 4, 1, 1]
[7, 4, 2, 1]
[9, 4, 2, 1]
[9, 3, 2, 1, 1]
[10, 4, 2, 1, 1]
[11, 5, 2, 1, 1]
[11, 5, 3, 1, 1]
[10, 4, 3, 1, 1, 1]
[11, 5, 3, 1, 1, 1]
[11, 6, 2, 2, 1, 1]
[11, 6, 3, 2, 1, 1]
[12, 7, 3, 2, 1, 1]
[15, 7, 3, 2, 1, 1]