геодезические

[terminator-II]

рассмотрим гладкое риманово многообразие $M,\quad \dim M\ge 2$ с положительно определенной метрикой $g_{ij}$. Вопрос: Верно ли, что не бывает геодезических длина которых локально максимальна?
Происхождение вопроса: беседа с участником этого форума Munin на другом форуме: http://www.scientific.ru/dforum/common/1247663626

вот я считаю, что максимальных геодезических быть не может (вроде очевидно но над доказательством не думал), а он считает, что таковые бывают

[Munin]

Указал несколько примеров. Дам ссылку на популярную книжку: С. Хокинг, Р. Пенроуз. Природа пространства и времени - Ижевск: НИЦ РХД, 2000 - С. 17-19. Обсуждать нечего, разве что называть ли сферу римановым многообразием, что мне неинтересно.

[ewert]

terminator-II в сообщении #229387 писал(а):

Верно ли, что не бывает геодезических длина которых локально максимальна?

А что эти слова в точности означают?

[terminator-II]

ewert в сообщении #229393 писал(а):

terminator-II в сообщении #229387 писал(а):

Верно ли, что не бывает геодезических длина которых локально максимальна?

А что эти слова в точности означают?

это означает, можно ли в окрестности геодезической найти кривую с темиже концами, что у геодезической, и чтоб длина этой кривой была больше чем у геодезической?

Munin в сообщении #229391 писал(а):

Указал несколько примеров. Дам ссылку на популярную книжку: С. Хокинг, Р. Пенроуз. Природа пространства и времени - Ижевск: НИЦ РХД, 2000 - С. 17-19. Обсуждать нечего, разве что называть ли сферу римановым многообразием, что мне неинтересно.

Мунин, куда же вы?

[ewert]

terminator-II в сообщении #229397 писал(а):

это означает, можно ли в окрестности геодезической найти кривую с темиже концами, что у геодезической, и чтоб длина этой кривой была больше чем у геодезической?

Можно, конечно. Возьмём саму геодезическую и заставим её чуть-чуть поплясать.

По-прежнему не понимаю, какой смысл может вкладываться в понятие "локально максимальной геодезической".

[terminator-II]

ewert в сообщении #229399 писал(а):

terminator-II в сообщении #229397 писал(а):

это означает, можно ли в окрестности геодезической найти кривую с темиже концами, что у геодезической, и чтоб длина этой кривой была больше чем у геодезической?

Можно, конечно. Возьмём саму геодезическую и заставим её чуть-чуть поплясать.

По-прежнему не понимаю, какой смысл может вкладываться в понятие "локально максимальной геодезической".

это значит, в малой окрестности нет более длинных кривых т.е. она доставляет максимум функционалу длины и соответственно вариационная производная на ней равна нулю

[ewert]

terminator-II в сообщении #229402 писал(а):

ну я уже объяснил: это значит, в малой окрестности нет более длинных кривых т.е. она доставляет максимум функционалу длины и соответственно удовлетворяет соответствующиму дифуру

Да, но ведь они (более длинные) там заведомо есть. Именно поэтому она (геодезическая) доставляет минимум функционалу длины, что и даёт повод составить соответствующий дифур.

По-прежнему не понимаю смысл вопроса.

[terminator-II]

ewert в сообщении #229404 писал(а):

Да, но ведь они (более длинные) там заведомо есть.

я в этом не сомневаюсь

ewert в сообщении #229404 писал(а):

Именно поэтому она (геодезическая) доставляет минимум функционалу длины, что и даёт повод составить соответствующий дифур.

представьте себе, что нашлась кривая доставляющая максимум, тогда на ней вариационная производная равна нулю и она тогда тоже удовлетворятет уравнению геодезических. вот как стоит вопрос. бывают ли такие кривые?

[ewert]

terminator-II в сообщении #229407 писал(а):

представьте себе, что нашлась кривая доставляющая максимум,

Не могу, и в принципе не могу, т.к. эту кривую тоже можно будет пошевелить.

[Munin]

ewert в сообщении #229404 писал(а):

Именно поэтому она (геодезическая) доставляет минимум функционалу длины

Это не всегда верно.

[ewert]

Munin в сообщении #229413 писал(а):

Это не всегда верно.

По определению -- всегда. За исключением исключительных случаев.

Я догадываюсь, на что Вы намекаете. Боюсь, что Вы с Терминатором просто не понимаете друг друга, говоря одновременно о разных вещах.

[terminator-II]

ewert в сообщении #229418 писал(а):

По определению -- всегда. За исключением исключительных случаев.

не очень понятно каксочетаются эти два высказывания. во всяком случае хотелось бы увидеть пример такого исключения

[ewert]

Не знаю, т.к. пытаюсь одновременно отвечать вам обоим. Всё-таки: что Вы понимали под "максимальной геодезической"?

[terminator-II]

кривая доставляющая локальный максимум функционалу длинны. только это более ничего

[ewert]

terminator-II в сообщении #229436 писал(а):

кривая доставляющая локальный максимум функционалу длинны. только это более ничего

Ну так её и не существует, причём по тривиальным причинам. Вопрос снят?