Простые делители различны у форм с неравными дискриминант..?

[grisania]

Верно ли следующее утверждение?
Даны два числа представленные формами ${{c}^{2}}+3{{d}^{2}}$, $\left( c,d \right)=1$ и ${{a}^{2}}+5{{b}^{2}}$, $\left( a,b \right)=1$. Найдется ли у числа ${{c}^{2}}+3{{d}^{2}}$ простой делитель, который не делит число $5{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ и наоборот.
Мне кажется, что это утверждение верно, так как дискриминанты этих форм различны, но пока не понимаю как это использовать для доказательства.

[age]

$1^2+3\cdot2^2=13$
$1^2+5\cdot2^2=21$
$13$ не делит $21$ и наоборот.
Гораздо интереснее найти условия, когда $(c^2+3d^2)\div(5a^2+b^2)$ и наоборот. Предлагаю решить эту задачу самостоятельно.

[Sonic86]

Если Вы имели ввиду $(\forall a,b,c,d \in \mathbb{Z})(\exists e,f \in \mathbb{Z}) e|c^2+3d^2, e \not | 5a^2+b^2, f \not |c^2+3d^2, e | 5a^2+b^2$, то это неверно, например для $a=b=c=d=1$.

Формы как таковые вообще на множители не раскладываются.
Что-то с условием не то.