координата x растёт экспоненциально, значение f(x) - линейно

[Таня Тайс]

Очень хочется решить эту задачу самой! Но... увы
Прошу только маааленькой подсказки

Задача: найти непрерывную биекцию $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, такую что
$ f(e^{b}x)=(1+b)f(x), \; b>0$ и
$f(0)=0$

В каком направлении надо искать? Методом научного тыка выяснила, что логарифм только сдвигает аргумент, но конечно здесь нужен логарифм. Также понятно, что функция симметрична относительно начала координат.
Надумала вот что
$f(e^{b-b})=f(1)=(1+b)f(e^{-b})$
$f(e^{b})=(1+b)f(1)=(1+b)^{2}f(e^{-b})$
Пыталась приплести интегралы, но не вижу, как это может помочь. Намекните, please, как быть.

[ИСН]

Вы хотите невозможного. Чему равно, спрашивается, $f(e^b\cdot e^b\cdot x)$?
Upd. Или я не так понял. Это только для одного такого $b$? Тогда какая-то степенная функция.

[venco]

У меня получилось доказать, что такой функции нет.
Upd too: действительно, $b$ - это заданная константа? Тогда всё просто.
Подсказка: выразите $f(e^b)$ через $f(1)$, потом $f(e^{2b})$, $f(e^{3b})$. Ничего не замечаете?

[Таня Тайс]

venco в сообщении #227179 писал(а):

действительно, $b$ - это заданная константа?

да


venco
Благодаря Вашей подсказке у меня получилось вот что:
$f(x)= (1+b)^{\frac{1}{b} \ln x}$ для $x> 0$.
Я положила $f(1)=1$.

Доопределяем эту функцию на всю ось

$$$$ f(x)= \begin{cases} (1+b)^{\frac{1}{b} \ln x} ,\; \; x>0\\ 0, \; \; \; x=0 \\ -(1+b)^{\frac{1}{b} \ln x} ,\; \; x<0\\ \end{cases} $$

Эта функция непрерывна и биективна (что надо показать, но так вроде подходит)
Спасибо огромное!

-- Ср июл 08, 2009 05:34:24 --

P.S. 2 venco
А Вы какую функцию имели в виду?

[venco]

У меня получилась та же функция, только я её преобразовал в $x^{\frac{ln(1+b)}b}$