интеграл от тригонометрических функций

[Alhimik]

Я знаю, что я очень невнимательный человек и простые и очевидные вещи не всегда усматирваю. Ответ на мой вопрос тоже по всей вероятности очень прост. Прошу внимания. Кто знает, почему
$ \int\limits_0^{\pi} \cos {( m \sin x - kx)} dx = (-1)^k \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x + kx) } dx $
Где $m \in \mathbb{R}$ и $m \geqslant 0$ .
$k \in \mathbb{Z}$.

[jetyb]

Возьмите интеграл $\int\limits_{-\pi}^0\cos\left(m\sin(x+\pi)-k(x+\pi)\right)dx$.

[Alhimik]

Точно. Если сделать банальную замену $t= x - \pi$,
тогда при $x=0$ имеем $t= - \pi$ и
$x= \pi $, $t=0$ и $dt=dx$
$ \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx )} dx = \int\limits_{-\pi}^0 \cos {[m \sin {(t+ \pi)} - k(x+ \pi) ]}dt= \int\limits_{- \pi}^0 \cos {(-m \sin t -kt -k \pi)} dt =\int\limits_{- \pi}^0 \cos {((m \sin t + kt) + k \pi)}dt=\int\limits_{-\pi}^0 \cos {(m \sin t +kt)} \cos {k \pi} dt - \int\limits_{-\pi}^0 \sin {(m \sin t + kt)} \sin {k \pi} dt = \cos {k \pi} \int\limits_{- \pi}^0 \cos {(m \sin t +kt)}dt=(-1)^k \int\limits_{- \pi}^0 \cos {(m \sin t + kt)}dt $
А даль что?

-- Чт июл 02, 2009 19:59:27 --

Всё! Дошло! Подъинтегральная функция ведь четная!