|
Тут скептик несколько перепутал разные проблемы Бернсайда. Существуют по крайней мере четыре известные проблемы, называемые проблемами Бернсайда. Одна из них утверждает, что простые конечные неабелевы группы имеют четные порядки. Эта проблема была решена Фейтом и Томпсоном (доказательство очень длинное и сложное), за что Томпсон получил Филдсовскую медаль. Остальные три проблемы связаны с конечностью конечно порожденных групп. "Неограниченная проблема" спрашивает, верно ли, что бесконечная периодическая конечно порозденная группа конечна. Эта проблема была решена Голодом (учеником Шафаревича) в 60-е годы. "Ограниченная проблема" задает тот же вопрос, но при дополнительном условии, что порядки всех элементов группы ограничены в совокупности. Эта на много более сложная проблема была решена П.С.Новиковым и Адяном в 60-х годах, доказательство существования таких групп занимало больше 300 страниц. "Ослабленная проблема" спрашивает, верно ли, что любая k-порожденная конечная группа, где порядки всех элементов ограничены в совокупности числом n, имеет не более, чем m(k,n) елементов, где m - некая функция. Эта проблема была решена Кострикиным в случае, когда порядки неединичных элементов равны простому числу p. Это было выдающимся достижением, хотя работа содержала некий пробел, впоследствии "заделанный" Зельмановым. Зельманов решил (положительно) полную Ослабленную проблему Бернсайда, за что и получил Филдсовскую медаль. Эти три проблемы оказались совершенно различными по сути. Сейчас существует много разных методов построения конечно порожденных периодических групп (неограниченная проблема), это довольно просто. Работы Адяна-П.С.Новикова и позднее Ольшанского и Громова привели к созданию геометрической теории групп, то есть "ограниченная" проблема по сути геометрична. Работы Кострикина и Зельманова существенно используют переход от групп (p-групп) к алгебрам Ли, и другим неассоциативным алгебрам (Зельманов использовал алгебры Йордана). То есть это чистая алгебра.
|
