Статика.

[Наума]

Привет! Прошли экзамены по разделу техмеха "статика" и такая задача попалась, но не смогла решить последнюю часть, помогите, пожалуйста для себя понять и решить этот вопрос.
Задача: груз B веса P удерживается с помощью троса BAD в равновесии при подъеме по шероховатой поверхности. Коэффициент трения между поверхностью и грузом $f=tg\varphi$, где $\varphi$ - угол трения. Определить натяжение троса как функцию угла $\alpha$ и найти угол, которому должен удовлетворять угол $\alpha$, чтобы натяжение троса принимало экстримальное значение. Размерами блока и груза пренебречь.
Я нашла силу натяжения троса: $T=P\frac {sin(\varphi+\alpha)}{sin(45+\alpha/2+\varphi)}$. А вот на счет угла, то думала, что при $\alpha=\pi /2$ будет экстримальное натяжение, так как $T=P$ и трос порвется.
Буду благодарна за подсказку!

[Батороев]

Наума в сообщении #225175 писал(а):

Я нашла силу натяжения троса: $T=P\frac {sin(\varphi+\alpha)}{sin(45+\alpha/2+\varphi)}$. А вот на счет угла, то думала, что при $\alpha=\pi /2$ будет экстримальное натяжение, так как $T=P$ и трос порвется.

То, что натяжение в отдельные моменты становится равным силе тяжести (при $\alpha=90^0; \alpha = 90^0-\dfrac{4}{3} \varphi $), не говорит о том, что трос должен порваться. Это - не максимальное его значение.
Тем более, что троса, как правило, эксплуатируются с большим запасом прочности.

Для того, чтобы найти угол $\alpha $, при котором натяжение принимает экстремальное значение (по-видимому, имеется в виду максимальное значение), необходимо найти, когда достигает максимума функция, указанная в Вашем выражении в виде дроби.

[Наума]

Спасибо, что откликнулись, Батороев!

Цитата:

необходимо найти, когда достигает максимума функция, указанная в Вашем выражении в виде дроби.

Я от этого и отталкивалась. Но сначала засомневалась в том, что может ли значение справа при $P$ в выведенной формуле для силы натяжения троса $T$ быть больше единицы. Поэкспериментировала и пришла к выводу, что нет, тоесть максимальное значение, которое может принимать $T$, это когда это значение справа стремиться к единице. По-другому, когда значения сил $T$ и $P$ стараются приравняться, чтобы натяжение троса было максимальным. Получается, что при $\alpha=\pi/2$ эти значения равны. А что дальше?
Можно было конечно и производную взять на исследование максимумов, но думаю, что этого здесь не требуется.

[Батороев]

Видать, не правильно экспериментировали.
Возьмите конкретное значение $ \varphi $, например, $20^0$ и проверьте, какие значения натяжения будут при $ \alpha > 63,333^0 $.

Вам как раз-то и требуется исследовать на максимум полученное выражение.

[Наума]

Батороев в сообщении #225398 писал(а):

Видать, не правильно экспериментировали.
Возьмите конкретное значение $ \varphi $, например, $20^0$ и проверьте, какие значения натяжения будут при $ \alpha > 63,333^0 $.

Вам как раз-то и требуется исследовать на максимум полученное выражение.

Да, действительно получается выражение $\frac {sin(\varphi+\alpha)}{sin(45+\alpha/2+\varphi)}>1$ при таких значениях.
Силы $T$ и $P$ равны, когда $\frac {sin(\varphi+\alpha)}{sin(45+\alpha/2+\varphi)}=1$
$sin(\varphi+\alpha)=sin(45+\alpha/2+\varphi)$[/math];
$\varphi+\alpha=45+\alpha/2+\varphi$;
$\alpha=90^0$.
Но вот непонятно, как Вы выразили $\alpha=90^0-\frac{4}{3}\varphi$, что тоже справедливо

Для нахождения экстремумов функции $T(\alpha)$ нашла производную от этой функции по $\alpha$ и приравняла к нулю
$T'=P(\frac {cos(\varphi+\alpha)\cdot sin(45+\alpha/2+\varphi)-sin(\varphi+\alpha)\cdot 1/2\cdot cos(45+\alpha/2+\varphi)}{sin^2(45+\alpha/2+\varphi)})=0$;
$cos(\varphi+\alpha)\cdot sin(45+\alpha/2+\varphi)-sin(\varphi+\alpha)\cdot 1/2\cdot cos(45+\alpha/2+\varphi)=0$
$sin^2(45+\alpha/2+\varphi)}\not =0$;
$tg(\varphi+\alpha)-2\cdot tg(45+\alpha/2+\varphi)}=0$; (1)
$\alpha\not =-90^0-2\varphi+2\pi n$, где $n\in Z$.
Теперь необходимо определить при каком значении $\alpha$ выражение (1) обращается в ноль, тоесть критические точки.

Все разобралась. Спасибо Вам большое. Только, пожалуйста, ответьте на вопрос под желтым смайликом " ".

[Батороев]

$ \sin \beta = \sin (\pi-\beta) $,
следовательно,
$\varphi + \alpha=\pi - (45^0 + \dfrac{\alpha}{2} + \varphi) $.