Тема для защиты

[Darin]

Помогите,пожалуйста, выбрать тему для защиты научно-изследовательного проекта по математике.Тема должна быть очень интересной и редкосной,а я в этом плохо разбираюсь!!!
Если знаете что-то интересное-напишите,пожалуйста,буду очень благодарна!!!

[meduza]

Darin в сообщении #224971 писал(а):

научно-изследовательного

Для начала русский нужно подкрепить

[мат-ламер]

Посмотрите вот тут http://dxdy.ru/topic3243.html.

[Бодигрим]

Много вкусных тем разного уровня можно найти на http://vyshka.math.ru/s09/09S_referat.html Они, правда, постулируются как реферативные, но вам никто не мешает подойти к их рассмотрению творчески.

[mserg]

Интересных и практически полезных задач довольно много, но они нетривиальные. Кроме этого, для них довольно проблематично найти вменяемые литературные источники и, тем более, научного руководителя. Но если есть время и желание, можно попробовать следующие темы.

1. Дано алгебраическое уравнение $c$, составленное из констант, дискретных переменных и из заранее заданного множества операций (+, -, / и т.д.). Заданы также множества допустимых значений переменных, входящих в уравнение. Требуется получить оценку $k(c)$ коэффициента «жесткости» уравнения. Неформально его можно определить как отношение общего количества возможных комбинаций значений переменных к количеству решений уравнения.
Например, пусть дано уравнение:
$x^2+7*y <= 20$,
где x лежит в диапазоне от 0 до 4, а y – от 0 до 2. Сколько (примерно) решений имеет уравнение?
Подчеркну еще раз, что входом для задачи является произвольное уравнение.

2. Дан двудольный связный граф; множество вершин первой доли обозначается через $C$, второй – через $U$. Каждая вершина $u$ графа из $U$имеет положительную стоимость $d(u). Требуется построить ориентированное дерево $G$ из вершин $C$ и назначить каждую вершину из $U$ на связанную с ней вершину из $C$ таким образом, чтобы
* смежные вершины в $G$ имели бы в исходном графе общие смежные вершины в $U$
* корень дерева имел бы минимальную меру
Мера для каждой вершины $g$ дерева $G$ вычисляется по формуле:
$e(g)= (\prod\limits_f e(f) * \prod\limits_u d(u))/k(g)$
здесь $f $– «входящие» в $g$ вершины в $G$, $u$ – назначенные на $g$ вершины

Применение этих задач следующее. Многие дискретные/комбинаторные задачи могут быть описаны в виде системы алгебраических уравнений. Часто для них неизвестен хороший метод решения и поэтому применяется перебор. С помощью задачи 1 можно оценить «жесткость» ограничений, а помощью задачи 2 – построить схему перебора, минимизирующую количество шагов. Множества $C$– это ограничения, множество $U$ – переменные; $d(u)$ – количество допустимых значений переменной; мера $e(g)$ – не что иное, как оценка количества решений системы уравнений в поддереве.

Таким образом, решения этих задач могут быть встроены в системы общего решения алгебраических задач. Обычно такие системы уже имеют язык описания задач, трансляторы, схемы перебора и сжатия значений переменных, и т.д. и т.п. Если такая система «увидит», что задача не имеет хорошим методов решения, то могут быть применены общие методы.

[ИСН]

О, слушайте, вот идея. Даны 4 цифры (0..9), можно расставлять их как угодно, а между ними - знаки действий (точно разрешены четыре действия арифметики, скобки и конкатенация; под вопросом - десятичная точка, степени и факториалы; что касается корней и логарифмов, их лучше запретить, а то - - -), и надо навести статистику, какие числа будут в результате появляться чаще других, в частности, будет ли как-то выделяться число 24. По-моему, для школьного исследовательского проекта самое оно, а?

[mserg]

Этот вопрос мне адресован? Честно говоря, я не знаю, насколько эта задача подойдет школьнику. Я вообще не сторонник решения бесполезных задач при исследованиях. Могу предложить еще одну практически полезную задачу. Может быть, и школьники могут с ней побороться.

Подбор математических моделей связан с перебором формул. Проблема связана с тем, что количество формул просто колоссально. Чтобы их как-то уменьшить, можно попытаться отсеять изоморфные формулы. Т.е. в дереве перебора уменьшить вероятность появления формул, которые аналитически могут быть преобразованы друг к другу. Так формулы изоморфны:
$a+(b+c) $
$a+(c+b) $
$b+(c+a) $
и т.д. Бесконечные перестановки, изменение порядка операций и т.п. плодит астрономическое количество формул.

Задача состоит в том, чтобы придумать правила, максимально отсекающие изоморфные формулы. Например, нужно бы запретить формулы вида
$a+(b+c) $ т.к. для нее есть разрешенная «нормальная формула»
$ (a+b) +c$
Пример других бессмысленных изоморфных формул
$-(-a) $
$a-(b-c) $ (так как возможна формула $a+(c-b)$)
$10*(12*a) $
$x^2+(y-x^2) $
и т.д.

Формула может состоять из констант, переменных, свободных переменных (вместо которых потенциально можно подставить любую другую формулу), и множества заданных операций (+, -, / и т.д.). Конечно, не нужно пытаться решать задачу изоморфизма точно, но хотя бы приближенно...