найти сумму ряда

[apls]

есть ряд:
$\frac{x}1 + \frac{x^5}5 + \frac{x^9}9 + \frac{x^{4n+1}}{4n+1} + ...$
требуется найти его сумму. подскажите, как это делается?

[Виктор Викторов]

Для того чтобы искать «его сумму» надо быть уверенным, что ряд сходится. Например, сходится ли этот ряд при x=10?

[Hymilev]

ряд степенной и обладает определенными свойствами
внутри своего круга сходимости его можно дифференцировать и интегрировать
попробуйте свести таким образом к эталонному

[Gortaur]

Обратите внимание, что напоминает $a_n = \frac{x^n}{n}$?

[apls]

это похоже на разложение в ряд Маклорена функции arctg(x). только там есть еще 3я, 7я, 11я и т.д. степени, с минусом.
$\arctg(x) - \frac12 x \arctg(x^2)$ ?

[Gortaur]

мне это напоминало всегда один из табличных интегралов. Очень похоже, что Ваш ответ правильный - но я бы посоветовал попробовать второй метод - не искать среди других рядов, а повнимательнее посмотреть на пост by Hymilev.

[TOTAL]

apls в сообщении #224426 писал(а):

это похоже на разложение в ряд Маклорена функции arctg(x). только там есть еще 3я, 7я, 11я и т.д. степени, с минусом.
$\arctg(x) - \frac12 x \arctg(x^2)$ ?

Какие знаете способы проверить, правильный ли это ответ?

[ИСН]

Половина ответа правильная. Продифференцируйте ряд, Hymilev дело говорит.

[ewert]

apls в сообщении #224426 писал(а):

это похоже на разложение в ряд Маклорена функции arctg(x). только там есть еще 3я, 7я, 11я и т.д. степени, с минусом.

Идея хорошая, а ответ нет. Поиграйтесь маленько с арктангенсом мнимого аргумента.

[Мастак]

продиффер. - тогда получ. равно $\frac{x^4}{(1-x^4)}$ в (-1,1)
и проинтегрировать

P.S. Учебн. задачки не такие уж разные в том, как делать.

[ewert]

Мастак в сообщении #224479 писал(а):

продиффер. - тогда получ. равно $\frac{x^4}{(1-x^4)}$

Только числитель-то откуда?

[Мастак]

ewert в сообщении #224481 писал(а):

Мастак в сообщении #224479 писал(а):

продиффер. - тогда получ. равно $1+\frac{x^4}{(1-x^4)}$

Только числитель-то откуда?

тьфу очепутка $\frac{1}{(1-x^4)}$

[apls]

2Hymilev: что степенной ряд можно интегрировать и дифференциировать и при этом радиус сходимости не изменется знаю, но не представляю как это применить. при чем тут эталонные ряды? не могли меня просвятить?

[Hymilev]

ну вот например вы знаете как суммировать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
так вот можно обозначить сумму исходного ряда как S(x), продифференцировать левую и правую часть и тут БАХ слева геометрическая прогрессия сумму которой Вы знаете , а справа производная от S(x)

[apls]

большое спасибо, разобрался