Правильные многоугольники на клетчатой доске

[lexus c.]

Наткнулся на задачку:
Какие правильные многоугольники могут иметь своими вершинами узлы клетчатой доски, клетки которой квадратны?
Сразу ясно, что для многоугольников с числом сторон, кратным четырём, за исключением квадрата, подобное построение невозможно, а для любого из остальных многоугольников с чётным числом сторон построение будет возможно только в том случае, когда оно возможно для многоугольника со вдвое меньшим (уже нечётным) числом сторон. Соответственно, возникает искушение доказать, что для любого многоугольника с нечётным числом сторон это построение невозможно. Однако пока у меня не получается это сделать. Можно ли какую-нибудь идею, а не полное решение?

[мат-ламер]

Может быть поможет то, что у многоугольников с вершинами на узлах доски тангенсы углов - рациональные числа.

[lexus c.]

мат-ламер в сообщении #224279 писал(а):

Может быть поможет то, что у многоугольников с вершинами на узлах доски тангенсы углов - рациональные числа.

Это тоже понятно, но не помогает)

[Gortaur]

Я могу ошибаться, но откуда уверенность, что они рациональны?

=====+===
======+==
====+====

Вот такой угол равнобедренного треугольника разве имеет рациональный тангенс?

[lexus c.]

Gortaur в сообщении #224284 писал(а):

Я могу ошибаться, но откуда уверенность, что они рациональны?

=====+===
======+==
====+====

Вот такой угол равнобедренного треугольника разве имеет рациональный тангенс?

Дело в том, что в предположении, что правильный n-угольник построен, можно без ограничения общности на этой клетчатой доске ввести прямоугольную систему координат так, что её центр будет в центре n-угольника, одна из вершин которого будет принадлежать оси абсцисс. Тогда, рассмотрев расстояния от соседней вершины до осей координат, получим, что они должны соотноситься как два рациональных числа, как и, соответственно, тангенс угла, опирающегося на сторону n-угольника и имеющего вершиной начало координат.

[ewert]

Gortaur в сообщении #224284 писал(а):

=====+===
======+==
====+====
Вот такой угол равнобедренного треугольника разве имеет рациональный тангенс?

(а что, этот треугольник и впрямь равнобедренный?...)

Любые две стороны наклонены к горизонтали под углом с рациональным тангенсом, а тангенс разности двух таких углов -- заведомо тоже рационален.

[jetyb]

Если вершины правильного n-угольника содержатся в сетке, то с помощью циркуля и линейки можно разделить круг на n частей. Гаусс доказал, что при простом $n>2$ это возможно тогда и только тогда, когда $n=2^{2^k}+1$. Остается рассмотреть произведения таких чисел.

[Dimoniada]

Правильный n-угольник при n=3 и n>4 нельзя расположить ни на одной решетке на плоскости. ("Многоугольники на решетках" В.В.Вавилов, А.В.Устинов)
Идея доказательства для n>4 очень проста: допускается существование такого(-их) n-угольников, из них (для конкретного n) выбирается наименьший. Как только такой выбор сделан, строится (c вершинами в узлах решетки) ещё 1 правильный n-угольник с ещё более меньшей стороной. Приходим к противоречию.

[lexus c.]

Dimoniada, но как доказать возможность этого?
Я нашёл эту задачку в домашних заданиях для учащихся малого мехмата. Т.е. очень уж сложно быть не должно.

[мат-ламер]

lexus c. Наберите в Google "Многоугольники на решётках". Найдёте цитируемую книгу на school-collection.edu.ru. Достаточно интересна. Доказательство для пятиугольника. Проведите в нём все диагонали и докажите, что маленький пятиугольник внутри углами опирается на решётку. Для семи- и выше мнгоугольника. Рядом с исходным многоугольником нарисуйте подобный ему, но с радиусом, равным стороне исходного. Он будет меньше исходного, но тоже с узлами на решётке. В книге также упоминается, что первое доказательство было основано на иррациональности тангенса углов.

[Sonic86]

Гы! прикольное доказательство.
Я вначале думал расположит вершины правильного многоугольника в точках $e^{\frac{2 \pi i k}{n}}$ и оттуда выводить противоречие...