Глобальный максимум

[reader_st]

Подскажите, пожайлуста, численный метод условной оптимизации для нахождения максимума функции
$ F(Z,\alpha^1,...,\alpha^n)=\sum\limits_{j=1}^{k}\frac{\delta_j}{3}\sum\limits_{i=1}^{m}w_{ij}\sum\limits_{l=0}^{3}\left \frac{B_l^iC_l^i\alpha_l^iZ}{C_l^i\alpha_l^iZ+1}-\frac{B_{l+1}^iC_{l+1}^i\alpha_l^iZ}{C_{l+1}^i\alpha_l^iZ+1} \right) -Z \to \max $
при
$ \alpha^1+...+\alpha^m=1 $
$ \alpha^i \ge 0 $
$ B_l^i, C_l^i - const $
Предлагается использовать метод Ньютона или метод штрафных функций. Хотелось бы знать Ваше мнение. Заранее спасибо.

[reader_st]

Прошу прощение за неправльное использование тега [math], однако вопрос не снимается. Еще раз прошу прощение.

[photon]

Я бы порекомендовал посмотреть книги
1) Press W.H. Teukolsky S.A. Vetterling W.T. Numerical recipes in C
2) Press W.H. Teukolsky S.A. Vetterling W.T. Numerical recipes in Fortran.

Доступ к ним закрыт, но у меня эти книги есть. Если захотите найти и будет проблема достать - пишите в личку

[reader_st]

Уважаемый, photon, спасибо за ссылки на книги, первая по-моему есть - надо посмотреть. Но, я так понимаю, в них предложены готовые реализации методов. Это - потом. Сейчас же необходимо точно указать метод, дающий хорошее приближение и аргументировать выбор, т.е. задача пока носит теоретический характер: доказать, что максимум единственный на этом множестве и найти его.

[photon]

Вторая книга более полная - там двухтомник на 1400 с лишним страниц. Да, там математические аспекты освещены не очень хорошо, но там приведен ряд методов, к ним есть ссылки - смотрите по ссылкам.

[Yuri Gendelman]

Поиск глобального экстремума - всегда проблема.

Известные мне численные методы поиска экстремума - локальные. Это очевидно для методов, использующих градиент или якобиан. Но и методы, явно не использующие производные - метод конфигураций, метод симплексов (не путать с симплексным в линейном программировании) и т.п., тоже локальные. Метод случайного поиска (Расстригин) стоит особняком, но и он не гаранитрует глобального экстремума.
Единственный совет который я встречал - искать локальный экстремум, начиная с разных начальных точек.

Вы можете гарантировать глобальность только анализом целевой функции или полным перебором (последнее - НЕ совет )

Литература:
- Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975
- Ф.Гилл, У.Мюррей, М.Райт. Практическая оптимизация. М.: Мир. 1985
- Fletcher R. Practical Methods of Optimization. Wiley. 1980/81 (Volume 1: Unconstrained Optimization; Volume 2: Constrained Optimization)

По поводу методов.
1. Метод штрафных функций - это способ сведения задачи с ограничениями к задаче без ограничений. Метод для задачи без ограничений все равно нужно выбирать.
2. Метод Ньютона - требует вычисления производных. Для Вашей функции аналитические формулы довольно сложны. Лучше обратите внимание на методы без производных: конфигураций, симплексов, Нелдера-Мида (см.Химмельблау).

[reader_st]

Yuri Gendelman, спасибо за столь подробный ответ.