Преобразование интеграла

[.alexey]

Как получается такое преобразование интеграла?

$${\left( \int\limits_0^x g(x,y)f(y)dy \right) }^{'} = g(x,x)f(x) + \int\limits_0^x g_x^{'}(x,y)f(y)dy $$

[ewert]

Молча получается. Как подынтегральная функция на пределе интегрирования плюс тот же интеграл от производной по параметру подынтегральной функции. Стандартное правило. Следует из формулы для производной "сложной" функции двух аргументов.

[CowboyHugges]

Общее правило

$${\left( \int\limits_{\beta(y)}^{\alpha(y)} g(x,y)dy \right) }^{'} =\int\limits_{\beta(y)}^{\alpha(y)} g^{'}_y(x,y) dy +{\beta}^{'}(y)\cdot g(\beta(y),y)-{\alpha}^{'}(y)\cdot f(\alpha(y),y)$$

Или нужен вывод этого правила?

Тьфу ты, не то. Простите

[.alexey]

ewert в сообщении #224014 писал(а):

Молча получается. Как подынтегральная функция на пределе интегрирования плюс тот же интеграл от производной по параметру подынтегральной функции. Стандартное правило. Следует из формулы для производной "сложной" функции двух аргументов.

То есть?

$${\left( \int\limits_0^x g(x,y)dy \right) }^{'} = \int\limits_0^x g_y^{'}(x,y) + g_x^{'}(x,y) dy = \int\limits_0^x g_y^{'}(x,y)dy + \int\limits_0^x g_x^{'}(x,y) dy = g(x,x) + \int\limits_0^x g_x^{'}(x,y)dy $$

Спасибо.

[ewert]

Да нет, не так. Просто определите функцию двух переменных $F(x,t)=\int_0^xg(t,y)dy$ и тупо продифференцируйте её по $x$ в предположении, что $t=t(x)=x$.