Помогите,пожалуйста,с доказательством полноты веществ. чисел

[sasha_vertreter]

Помогите пожалуйста понять доказательство полноты вещественных чисел, приведенное на странице 57 учебника Садовничего.

вот эту часть "в силу изоморфизма множества $\{\bar x' \}$ и множества $\{x\}$ всех вещественных чисел можно утверждать, что множество всех вещественных чисел разбивается на два класса.. Но это означает, что нижний класс вещественных чисел ограничен сверху и имеет точную верхнюю грань M, а верхний класс имеет точную нижнюю грань m. Из определения точных граней вытекает, что обе грани m и M заключены между вещественными числами, как угодно близкими между собой (а почему это следует именно из определения точных граней?), а поэтому m=M. Так как число m=M является одним из вещественных чисел, то оно принадлежит одному из классов, т.е. существует либо наименьший элемент в верхнем классе, либо наибольший в нижнем. Докажем, что оба эти утверждения абсурдны".

Вот тут я начинаю не понимать. Ведь по теореме Дедекинда для всякого сечения A|A' в области вещественных чисел существует вещественное число $\beta$, которое производит сечение. Это число будет либо наибольшим в нижнем классе, либо наименьшим в верхнем классе.

То есть, как я понимаю, наличие, скажем, наименьшего элемента в верхнем классе не противоречит теореме Дедекинда - тогда почему это утверждение абсурдно? Или все дело в равенстве m=M? (я понял дальнейшее доказательство Садовничего, просто никак не могу связать две формулировки доказательств).

Спасибо!


(это наверно слишком примитивный вопрос?)

вот страницы из учебника:
стр 5455
стр 5657

[fiktor]

Все правильно, никаких противоречий с теоремой Дедекинда здесь нет. "Абсурдность" доказывается на протяжении половины страницы 57, сразу после предложения

Цитата:

Докажем, что оба эти утверждения абсурдны

. Причем абсурдность не того, что m=M и является принадлежит одному из классов, а того, что есть еще число $\alpha'$, которое грубо говоря не помещается между m=M и вторым классом (т.е. отличным от того, в котором лежит m=M). Не грубо написано у Садовничего.