доказать равенство

[vanja]

Доказать, что для непрерывной на всей числовой прямой функции $f$,периодичной с периодом $T$и любого числа $a$справедливо равенство:
$\int_{a}^{a+T} f(x) dx=\int_{0}^{T} f(x) dx$

[Полосин]

Продифференцируйте по $a$ или сделайте замену переменной.

[ewert]

vanja в сообщении #223780 писал(а):

Доказать, что для непрерывной на всей числовой прямой функции $f$,периодичной с периодом $T$и любого числа $a$справедливо равенство:
$\int_{a}^{a+T} f(x) dx=\int_{0}^{T} f(x) dx$

независимо от формальных доказательств -- это обязано быть геометрически очевидным. При переходе от второго к первому мы выкидываем маленький кусочек левой части подграфика, но и добавляем точно такой же (в силу периодичности) кусочек справа. Это в принципе, а ньюансы легко разбираются и малоинтересны.

[vanja]

что-то я все равно не понимаю(((
допустим, я продифференцировал по $a$ и получилось:
$f(a+T)-f(a)$, но что далее??

[id]

Период функции равен T по условию. При значении параметра $a=0$ получается ... ? Выводы?

[vanja]

ну это то да, просто мне надо как-то поподробнее это расписать:\

[id]

Перенесите в исходном равенстве все в левую часть, это будет некоторая функция от $g(a)$. Надо показать, что она тождественно равна 0.
При $a=0$ исходное равенство выполняется, значит $g(0) = 0$.
Далее нашли производную $g'(a) =$... . Выводы?

[AD]

vanja в сообщении #223858 писал(а):

$f(a+T)-f(a)$, но что далее??

Скажите, что такое периодическая функция с периодом $T$.
Ну? Начну за Вас даже: это когда для всех $x$ будет $f(x+T)=\cdots$

[TOTAL]

$\left( \int_{a}^{a+T} - \int_{0}^{T} \right) =\int_{T}^{a+T} - \int_{0}^{a} = \int_{2T}^{a+2T} - \int_{0}^{a} = \int_{a}^{a+2T} - \int_{0}^{2T} =2\left( \int_{a}^{a+T} - \int_{0}^{T} \right)$

[vanja]

AD в сообщении #223888 писал(а):

vanja в сообщении #223858 писал(а):

$f(a+T)-f(a)$, но что далее??

Скажите, что такое периодическая функция с периодом $T$.
Ну? Начну за Вас даже: это когда для всех $x$ будет $f(x+T)=\cdots$

$=f(x)$
но как это доказательство получше оформить, чтобы не возникало лишних вопросов?

[Dan B-Yallay]

Функция периодическая, поэтому

$$f\Big | _{[0,a]}=f\Big | _{[T,T+a]} \Rightarrow \int_0^af(x)dx = \int_T^{T+a}f(x)dx$$

А дальше самостоятельно.