теорема Нетер

[terminator-II]

дискуссионного в теме, которую я хочу обсудить не брольше ,пожалй, чем в 2*2=4. просто хотелось привелечь внимание местного сообщества к одной пехотной мине или ,если угодно ,свинье, заложенной тов. В.И. Арнольдом в его учебнике "Математические методы классической механики". Справедливости ради, надо сказать, что эта свинья заложена не только в учебнике Арнольда.

Напомню формулировку теоремы Нетер из его учебника.
Рассмотрим систему с лагранжианом $L=L(x,\dot x),\quad x=(x^i)$ предположим, что сей лагранжиан инвариантен относительно однопараметрической группы диффеоморфизмов $g(x,s)=(g^i(x,s))$ ($s$ -- действительный параметр):

$$L(x,\dot x)=L(g(x,s),\frac{\partial g^i}{\partial x^j}(x,s)\dot x^j),\quad \forall s.\qquad(*)$$

Тогда соответствующая система уравнений Лагранжа имеет первый интеграл

$$f(x,\dot x)=\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}(x,\dot x)\frac{\partial g^i}{\partial s}(x,0).$$

Теперь вопрос: какую роль в этой теореме играет предположение о том, что $g$ -- группа?

Оказывается никакой не играет. от семейства преобразований $g(x,s)$ ,помимо гладкости, требуется только одно: $g(x,0)=x$. да и условие (*) можно очевидным образом ослабить:

$$\frac{\partial }{\partial s}\Big|_{s=0}L(g(x,s),\frac{\partial g^i}{\partial x^j}(x,s)\dot x^j)=0$$

действительно, продифференцируем $f$ в силу уравнений Лагранжа:

$$\frac{d}{dt}f(x,\dot x)=\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}(x,\dot x)\Big)\frac{\partial g^i}{\partial s}(x,0)+\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}(x,\dot x)\frac{\partial^2 g^i}{\partial s\partial x^k}(x,0)\dot x^k$$ $$=\frac{\partial L}{\partial x^i}(x,\dot x)\frac{\partial g^i}{\partial s}(x,0)+\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}(x,\dot x)\frac{\partial^2 g^i}{\partial s\partial x^k}(x,0)\dot x^k=\frac{\partial }{\partial s}\Big|_{s=0}L(g(x,s),\frac{\partial g^i}{\partial x^j}(x,s)\dot x^j)=0.$$

и зачем, спрашиваецо тень на плетень наводить?

[ShMaxG]

Ну... Может быть дело в том, что научная деятельность Эмми Нетер была связана с алгеброй и исторически во всех учебниках рассматривается однопараметрическая группа преобразований, групповая сущность которой не используется.

[terminator-II]

ну, положим не во всех учебниках, и групповая сущность здесь тоже никуда не делась, она просто спряталась.

[Софус]

Ваша идея понятна, но все же было бы правильно привести пример подобного однопараметричского семейства.

[terminator-II]

Софус в сообщении #226628 писал(а):

Ваша идея понятна, но все же было бы правильно привести пример подобного однопараметричского семейства.

$g(x,s)=x+s^2,\quad x,s\in \mathbb{R}$