Свойство преобразования Fourier

[Alhimik]

Кто-нибуть, может дать внятное объяснение, почему
$F \left [ f \left ( t+t_0 \right) \right ] = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} f (t+t_0) e^{-i \omega t} dt$

Ведь, по определению, преобразование Fourier записывается как
$F \left [ f (t) \right ] = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{-i \omega t} dt$

Тогда, раз уж мы подстваляем вместо $ t $ $t+t_0$ , тогда надо подствалять везде. В том числе и в показателе степени экспоненты. Т.е. я говорю об $F \left [ f \left ( t+t_0 \right) \right ] = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} f (t+t_0) e^{-i \omega (t+t_0)} dt$ ???

Это используется для доказательства следующего свойства преобразование Fourier : $F \left [ f(t+t_0) \right ] = e^{i \omega t_0} F \left [ f(t) \right ]$ .

[ewert]

Alhimik в сообщении #223610 писал(а):

Кто-нибуть, может дать внятное объяснение, почему
$F \left [ f \left ( t+t_0 \right) \right ] = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} f (t+t_0) e^{-i \omega t} dt$

По определению.

По определению, $(F\,g)(\omega) \equiv \int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-i\omega t}dt.$ И если уж $g(t)=f(t+t_0),$ то надо тупо это выражение в тот интеграл и подставлять. При чём тут экспонента-то?...

А всё из-за чего вышло-то. Из-за беграмотности Ваших обозначений. Да, традиционной и вполне общепринятой, но всё-таки -- безграмотности.

[jetyb]

$t-t_0$ вместо $t$ мы подставляем только в функцию $f$. Экспонента здесь является иной функцией.
$F\left[f(t)\right]=(f(t),e^{-i\omega t})=\int\limits_{R}f(t)e^{-i\omega t}dt$.

[Xaositect]

$g(t) = f(t+t_0)$
$F[f(t+t_0)] = F[g(t)] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-i\omega t}dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t+t_0)e^{-i\omega t}dt$

PS. От названия темы коробит немного. Пишите уж либо Fourier Transform, либо преобразование Фурье.

[Alhimik]

Уж по нраву мне дух дореволюционной литературы где, в большей части, имена ученых в книгах оставляли на их родных языках.

Кстати, спасибо большое, большое большое! всем за умное и внятное объяснение.

[CowboyHugges]

Alhimik в сообщении #223623 писал(а):

Уж по нраву мне дух дореволюционной литературы где, в большей части, имена ученых в книгах оставляли на их родных языках.

Эх понты, понты. Посмотрим как Вы сюда фамилию Хёрмандера забьёте, если у Вас вопросы появятся

[Alhimik]

Выскочил на google и, не поверишь, элементарно, Hrmander. Думаю, что с ним мне иметь дело в ближайшее обозримое будущее не доведётся.

[vlad239]

http://srcc.msu.su/num_anal/eng_math/dict/col1.htm

Влад.