О большое в степени

[bubu gaga]

Получилось вот такое выражение

$$ \varphi(\pi + x) = \left(x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right)^{-d}, \qquad d \in \mathbb{R} $$

Вопрос, можно ли как-нибудь вынести $\mathcal{O}$ за скобку? Спасибо!

[Xaositect]

можно
$(x^2 + O(x^3))^{-d} = (x^2)^{-d} (1 + O(x))^{-d}$
И дальше $(1+y)^{\alpha} = 1 + \alpha y + o(y)$

[MGM]

Ещё разок разложить в ряд.
А там посмотреть, что получится.

[terminator-II]

в формулах содержащих $O-$символику принято указывать базу предельного перехода

[MGM]

terminator-II в сообщении #222755 писал(а):

в формулах содержащих $O-$символику принято указывать базу предельного перехода

Там это очевидно.

[terminator-II]

MGM в сообщении #222756 писал(а):

Там это очевидно.

тем не менее принято указывать. а потом, Вам очевидно, а автору вопроса очевидно?

[MGM]

terminator-II в сообщении #222758 писал(а):

MGM в сообщении #222756 писал(а):

Там это очевидно.

тем не менее принято указывать. а потом, Вам очевидно, а автору вопроса очевидно?

Думаю, да.
Иначе бы он не был модератором.

[terminator-II]

иначе бы он не задавал таких вопросов

[AD]

MGM в сообщении #222762 писал(а):

Иначе бы он не был модератором.

Так и представляю - экзамен такой для кандидатов в модераторы ...

[ИСН]

Модераторский минимум, а потом защита на модераторском совете. Собрать кворум. Модераторы по специальности...

[bubu gaga]

Дорогие участники. Не ссорьтесь по поводу моей скромной персоны. Я модерирую вовсе не математику и совершенно не претендую на какой-либо статус в математическом разделе.

[bubu gaga]

Вот что получилось

$$ x^{-2d}\left(1 + O(x)\right)^{-d} = x^{-2d}\left(1 - d \, O(x) + O\left(x^2\right)\right) = x^{-2d} + O\left(x^{1 - 2d}\right) $$

Для $x \to 0$ верно $x^{-2d} \succ x^{1 - 2d}$

[AKM]

bubu-gaga,

по прочтении в связи с недавним аналогичным вопросом статьи в Википедии (я так рискую освоить эту вашу науку!), у меня сложилось впечатление, что использование о/О-символики в реальных калькуляциях НЕВЕРНО (либо требует осторожности), и $O(x^3)$ следует чем-то подменить (типа $ax^3+bx^4$). И что Xaositect, записывая выражение

Xaositect в сообщении #222748 писал(а):

$(x^2 + O(x^3))^{-d} = (x^2)^{-d} (1 + O(x))^{-d}$,

тоже это подразумевал.

[Xaositect]

Обращаться, конечно, нужно с осторожностью, но здесь я ничего некорректного не вижу.

$f(x) = x^2 + O(x^3)$ означает $f(x) = x^2 + \alpha(x)$, $\dfrac{\alpha(x)}{x^3}$ ограничено.
$f(x) = x^2(1 + \dfrac{\alpha(x)}{x^2})$. Обозначим $\dfrac{\alpha(x)}{x^2}$ буквой $\beta(x)$. Тогда $\dfrac{\beta(x)}{x}$ ограничено, т.е. можно записать $f(x) = x^2(1+\beta(x))= x^2(1+O(x))$

Больше смущает возведение в отрицательную степень, но там тоже все верно.

[zrz]

А почему $\dfrac{\beta(x)}{x}$ ограничено ?