Ноль, интеграл от корого единица.

[Gortaur]

Знаете, а $\delta$-функция не такой уж и урод математического мира. К ней можно хотя бы указать последовательность, которая будет сохранять интеграл.

Другое дело - если рассмотреть последовательность $\int\limits_a^b{f_n(x)}{dx} = 1$ при $n\rightarrow \infty$ и $f_n(x) >0 \forall x \in \mathbb{R}$.

В итоге получится функция, всюду равная 0, но интеграл от которой по $\mathbb{R}$ равен 1. Прошу не заострять внимание на равномерной сходимости, потому что к дельта-функции также равномерной сходимости непрерывными функциями не сделаешь, но ее определение хоть как-то логично. А тут получается, что интеграл от 0 по всей прямой загадочен.

Кстати, это может быть немного связано с той проблемой, что одной из первообразных непрерывной $f$ является $\int\limits_a^x{f(t)}{dt}$, но меняя $a$ все первообразные не всегда можно описать. К примеру, у 0 такой первообразной всегда будет только 0.

[мат-ламер]

Цитата:

В итоге получится функция, всюду равная 0,

. Не понял, а почему? В нуле она вроде равна $+\infty$.

[MGM]

У Вас опечатка. Только не понятно в каком из двух случаев. 1. В выражении с интегралом стоит знак точного неравенства нулю,
а затем, на словах, Вы объявляете 2. эту функцию равной нулю.

[AD]

Gortaur, я не вижу в Вашем сообщении ни одного вопросительного знака. Вопрос-то в чём?

[MGM]

AD в сообщении #222721 писал(а):

Gortaur, я не вижу в Вашем сообщении ни одного вопросительного знака. Вопрос-то в чём?

Это утверждение. Вопрос в том, верно ли оно.

[terminator-II]

верно что? что

Gortaur в сообщении #222703 писал(а):

получится функция, всюду равная 0, но интеграл от которой по $\mathbb{R}$ равен 1

нет неверно, таких функций не бывает.
вообще я думаю, что прежде чем писать вроде:

Gortaur в сообщении #222703 писал(а):

Знаете, а $\delta$-функция не такой уж и урод математического мира

надо сперва почитать учебник, Зорича того же или КолмогороваФомина, а потом задавать вопросы по непонятому.

[MGM]

terminator-II в сообщении #222752 писал(а):

надо сперва почитать учебник, Зорича того же или КолмогороваФомина, а потом задавать вопросы по непонятому.

В топик старте много непонятного.
Там, не про дельта функцию спич.
А про интеграл, с где границы интегрирования как-то связаны с самой функцией.
Что-то типа:
$\[ \int\limits_{ - n}^n {\frac{1} {n}dx} \]$

[Gortaur]

Приношу свои извинения, потому как не определил хотя бы одну из последовательностей $f_n$, которая имелась ввиду. К примеру, предел плотностей равномерного распределения, $f_n(x) = \frac{1}{2n} \chi_{[-n,n]}(x)$.

Разумеется, можно построить сколько угодно гладкие аналоги. Итак, условия на $f_n(x)$ таковы:
1. $supp{f_n} < supp{f_{n+1}} \subset [-M(n+1),M(n+1)]$, где $0<M(n)<\infty$ для любых $n$;
2. $\max{f_n(x)}\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$;
3. $f_n(x)>0 \quad \forall x$
4. $\int\limits_{\mathbb{R}}{f_n(x)}{dx} = 1 \quad \forall n$.

[MGM]

Gortaur
Ну мы и так поняли, о чём речь.
Но вопроса так и не прозвучало.
Если в Вашем процессе размазывания ненулевой функции по всё большей и большей тарелке и существует предел, то это не значит, что функция везде будет равна нулю, как утверждалось ранее.
Да противная получится в итоге функция.

Мне, вот, не нравится мера $dx $да и $dy$ тоже.
Но что поделать.

[Gortaur]

Про бесконечность у меня идея была конечно, но посудите сами, в любой точке поточечная сходимость к 0. Как может быть $f(\infty) = \infty$, если $f_n(\infty) = 0$ всегда?

Вопрос такой: определение дельта-функции логично, потому что у нее бесконечность в 0, откуда мы можем предположить, что интеграл от нее не равен 0. Но тут мы получаем функцию, которая всюду равна 0, а интеграл не 0. Вопрос такой: что в этом "предельном переходе" (который, разумеется, не очень корректный) некорректнее, чем в предельном переходе для обозначения дельта-функции?

Посудите сами, если мы берем случайную величину, равномерно распределенную в пространстве действительных чисел, то распределительная мера любого интервала равна 0.

Я понимаю, что сумма нулей может быть не нулем - например, в случае интеграла, когда $f(x)dx$ можно считать 0, но там сумма необычна. А здесь можно взять простой ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\mu(K_n)}$, где $K_1 = (-1,1)$, $K_n = (-n,1-n]\cup[n-1,n)$. $\mu$ - распределительная мера равномерного распределения.
Все члены ряд = 0, а сумма = 1.

[MGM]

Gortaur в сообщении #223042 писал(а):

Вопрос такой: определение дельта-функции логично, потому что у нее бесконечность в 0, откуда мы можем предположить, что интеграл от нее не равен 0. Но тут мы получаем функцию, которая всюду равна 0, а интеграл не 0. Вопрос такой: что в этом "предельном переходе" (который, разумеется, не очень корректный) некорректнее, чем в предельном переходе для обозначения дельта-функции?

Посудите сами, если мы берем случайную величину, равномерно распределенную в пространстве действительных чисел, то распределительная мера любого интервала равна 0.

Gortaur
Вы опять за своё. ваша функция не равна нулю.
Стремиться, не значит быть.
Что на бытовом, что формальном уровне понимания.
Ваша функция "задаётся" размазыванием. Поэтому выполняется закон сохранения меры.
То есть интеграла.
Дельта функция задаётся обратным процессом, то есть уменьшением области определения функции, где она отлична от нуля.

[Gortaur]

Весь этот вопрос вырос из задачи

$$ \int\limits_{\mathbb{R}}{G(f(x))}{dx} \rightarrow extr $$

,

$$ \int\limits_{\mathbb{R}}{A(f(x))}{dx} = C $$

Если пределы интегрирования конечны, то решение - константа. Если бесконечны - проблема.

[MGM]

Gortaur
А что Вы понимает под распределительной мерой?
Если каждое слагаемое равно нулю, то и сумма тоже.
Не пойму откуда единица то?

[Gortaur]

потому что мера сигма-аддитивна, $K_i \cap K_j = \emptyset$ то есть $\sum{\mu(K_n)} = \mu(\bigcup{K_n}) = \mu{\mathbb{R}} = 1$

[MGM]

Gortaur в сообщении #223062 писал(а):

потому что мера сигма-аддитивна, $K_i \cap K_j = \emptyset$ то есть $\sum{\mu(K_n)} = \mu(\bigcup{K_n}) = \mu{\mathbb{R}} = 1$

Это не Вы забор строгаете?
Очень похожий стиль глума.

Если согласно Вашим расчётам сумма нулей единица,
только радоваться надо.

Это похлеще вечного двигателя будет.