Многомерное пуассоновское распределение

[ono]

Из биномиального распределения можно получить пуассоновское.
Мне нужно из полиномиального получить многомерное пуассоновское.

Пните в нужную сторону, пожалуйста.

[--mS--]

Аналогично теореме Пуассона, если при $n\to\infty$ все вероятности $p_i=p_i(n)$, кроме одной, убывают так, что $np_i \to \lambda_i >0$, $i=1,\ldots,k-1$, то

$$ \mathsf P (X_1=i_i,\, X_2=i_2, \ldots, X_k=i_k) = \dfrac{n!}{i_1!\,i_2!\ldots i_k!}p_1^{i_1}p_2^{i_2}\, \ldots \, p_k^{i_k}\; \to \; \dfrac{\lambda_1^{i_1}}{i_1!}\,\dfrac{\lambda_2^{i_2}}{i_2!}\,\ldots\, \dfrac{\lambda_{k-1}^{i_{k-1}}}{i_{k-1}!}\, e^{-(\lambda_1+\ldots+\lambda_{k-1})}. $$

Доказывается прямым предельным переходом, как в теореме Пуассона.

[ono]

Ну вот я смотрю, как Феллер доказывает теорему Пуассона, а как применить к многомерному случаю, не понимаю

-- Ср сен 09, 2009 21:47:00 --

ВОт он берет $k=0$, логарифмирует, применяет Тейлора. А у меня этих $k$ много, что мне с ними делать-то?

[--mS--]

Пусть $\lambda_i(n)=np_i \to\lambda_i$ для $i=1,\ldots,k-1$. Заменим для таких $i$ в формуле ниже $p_i=\lambda_i(n)/n$, $p_k=1-\dfrac{\lambda_1(n)+\ldots+\lambda_{k-1}(n)}{n}$. Ещё заменим $i_k=n-(i_1+\ldots+i_{k-1})$. Получится

$$ \dfrac{n!}{i_1!\ldots i_{k-1}!(n-(i_1+\ldots+i_{k-1}))!}\dfrac{\lambda_1(n)^{i_1}}{n^{i_1}}\cdot\, \ldots \,\cdot \dfrac{\lambda_{k-1}(n)^{i_{k-1}}}{n^{i_{k-1}}} \left(1-\dfrac{\lambda_1(n)+\ldots+\lambda_{k-1}(n)}{n}\right)^{n-(i_1+\ldots+i_{k-1})}$$

Ну и дальше - замечательный предел для последней скобки; $n!$, делённое на степени $n$, стремится к единице; $\lambda_j(n)^{i_j}\to \lambda_j^{i_j}$ и т.п.