Тождественные преобразования выражений

[dnoskov]

Здравствуйте!

Вот такое вот упражнение:

Цитата:

Вычислить:
$\frac{1}{1^.4}+\frac{1}{4^.7}+...+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

Его я, к сожалению не решил

Но в обоих вариантах решений, напечатанных в книжке (а это "Задачи по элементарной математике" из Библиотечки вечерней математической школы МГУ (качал тут)), из которой, собственно и это задание за нумером 3, я столкнулся с совсем неочевидными для меня вещами. Собственно, обо всём по порядку.

Первый вариант решения:

Цитата:

Докажем методом математической индукции, что имеет место равенство
$\frac{1}{1^.4}+\frac{1}{4^.7}+...+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{3n+1}$.
(далее следует собственно метод мат. индукции)

И вот мой первый вопрос: откуда взялось $\frac{n}{3n+1}$?
В смысле это же совсем не очевидно (по-моему). Ну или ткните меня носом если я что-то не доглядел (что тут можно не доглядеть-то?)

Далее:
Второй вариант решения:

Цитата:

Воспользуемся формулой
$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3(3n-2)}+\frac{1}{3(3n+1)}$
(далее следует решение без метода мат. индукции)

Тоже неясно как получить такое на практике (в ходе решения, скажем, на экзамене).

Хотя после некоторого времени, проведённого в думах, я-таки понял, что можно наверное любую дробь с произведением в знаменателе представить в виде суммы. Хотя может я неправ?

Просвятите, кто знает. Пожаааалуйста

[EtCetera]

dnoskov
В обоих случаях был использован так называемый метод математической интуиции . К сожалению, далеко не все задачи можно решить по общим лекалам, а потому его можно считать очень распространенным и практически универсальным.

dnoskov в сообщении #222333 писал(а):

Хотя после некоторого времени, проведённого в думах, я-таки понял, что можно наверное любую дробь с произведением в знаменателе представить в виде суммы. Хотя может я неправ?

В общем-то, правы. Только это не всегда приводит к решению .

[worm2]

dnoskov писал(а):

первый вопрос: откуда взялось $\frac{n}{3n+1}$?

Посчитали для первых нескольких $n$, догадались о закономерности.

dnoskov писал(а):

Цитата:

Воспользуемся формулой
$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3(3n-2)}+\frac{1}{3(3n+1)}$
(далее следует решение без метода мат. индукции)

Тоже неясно как получить такое на практике (в ходе решения, скажем, на экзамене).

Хотя после некоторого времени, проведённого в думах, я-таки понял, что можно наверное любую дробь с произведением в знаменателе представить в виде суммы. Хотя может я неправ?

Ну, тут Вы практически сами до ответа додумались.

$$\frac{1}{A\cdot B}=\frac{1}{(A-B)\cdot B}-\frac{1}{(A-B)\cdot A}$$

Приёмчик, конечно, хитрый, не все до такого догадаются. Индукция в этом плане проще, нашёл несколько первых членов, догадался о закономерности, доказал, хотя и технически сложнее (выкладок больше). Но и она, как уже написал EtCetera, далеко не во всех случаях спасает.
Легко такие задачи даются только тем, кто целенаправленно изучает всякие приёмчики (учащиеся классов "с уклоном", олимпиадники...).

[sartr14]

Что касается метода мат. индукции, то здесь надо было посчитать сумму $\sum^{i=n}_{i=1}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ для $n=1,2,3,4,...$ и найти определённую закономерность, а именно: при произвольном $n$ сумма равна $\frac{n}{3n+1}$ и потом доказывать равенство методом мат. индукции. Этот способ, конечно, не очень хорош тем, что можно и не "увидеть" формулу $\frac{n}{3n+1}$.

Второй вариант решения:
во-первых, у вас опечатка $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}$.
На практике, это можно получить так: пусть $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}$. Т.е. $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A(3n+1)+B(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}$ и приравнивая числители дробей, получим:
$3An+A+3Bn-2B=1$. Далее, в правой части последнего равенства стоит многочлен нулевой степени относительно $n$, т.е. коэффициент при $n^1$ равен нулю, следовательно $3A+3B=0 \ \ \ (1)$, коэффициент при $n^0$ равен $1$, т.е. $A-2B=1 \ \ \ \ (2)$. Решая совместно $(1)$ и $(2)$, будем иметь: $A=\frac{1}{3}, \ B=-\frac{1}{3}$. Откуда и следует, что $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}$.
Что касается вашего утверждения "что можно наверное любую дробь с произведением в знаменателе представить в виде суммы", то оно не совсем корректно.

[dnoskov]

EtCetera
Да, я так и подумал. Что-ж надо привыкать и к математическому языку без словаря
worm2
Вот что-то подобное нам физик в своё время ещё в школе показывал. Но я тогда совсем не врубился. А теперь всё встало-таки на свои места.

Цитата:

Приёмчик, конечно, хитрый, не все до такого догадаются.

Ну, это вопрос времени (догадаться-то). А с течением времени - вопрос привычки.

Цитата:

Легко такие задачи даются только тем, кто целенаправленно изучает всякие приёмчики

Надо заметить, что это полезные и любопытные для не искушонного мозга приёмчики, а, соответственно, их изучение ничему не повредит - напротив.
Большое спасибо за формулу. Я так понимаю она из каких-нибудь "действий над многочленами" или чего-нибудь в этом духе? Надо будет поштудировать соответствующую литературку.
sartr14
И действительно - опечатка.
Спасибо
(а я ведь ещё её вроде-как спалил при проверке, да, когда справлялся, так и перепечатал)

Вот это да!!!
Я ведь и думал, что какой-нибудь метод точно существует. Нельзя же, в самом деле, из головы такие преобразования (

$$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}$$

) напрямую вытаскивать (хотя то ли ещё может быть)
И наверное существует литература, которую Вы можете порекомендовать для "постижения методов"/"вникания в методологию"/"совершенствования навыков" (хотя это конечно всё может быть только практика)?

В любом случае Спасибо Вам большое!

-- Пн июн 15, 2009 23:52:42 --

sartr14
Совсем забыл.
Не вполне ясно каким образом $3A+3B=0$ и $A-2B=1$
Не могли бы Вы объяснить по подробнее (или указать что или где почитать)

[AKM]

sartr14 в сообщении #222355 писал(а):

На практике, это можно получить так: пусть $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}$. Т.е. $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A(3n+1)+B(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}$ и приравнивая числители дробей, получим:
$3An+A+3Bn-2B=1$.

Распишу то же подробнее.
Подберём такие числа A и B, чтобы для любого $n$ выполнилось равенство:

$$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}$$

Как нам это пришло в голову? А Вы выполните ручками сложение дробей в правой части, и, последив за знаменателем, увидите. Подробнее:

$$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}=\frac{A(3n+1)+B(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{3n(A+B)+(A-2B)}{(3n-2)(3n+1)}$$

Ну как нам добиться, чтобы полученное равенство

$$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{3n(A+B)+(A-2B)}{(3n-2)(3n+1)}$$

выполнялось для любых n? А вот если мы подберём A и B такими, чтоб было (A+B)=0, то уже многого достигнем: мы $n$ в числителе напрочь нейтрализуем, и у нас будет

$$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{3n\cdot 0+(A-2B)}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A-2B}{(3n-2)(3n+1)}.$$

Можно взять $(A=5, B=-5)$, $(A=1/3,B=-1/3)$, $(A=-1,B=1)$, и ещё сто тысяч вариантов. А выберем-ка мы из них такой, чтоб было $A-2B=1$, т.е. полное счастье. Подходит именно $(A=1/3,B=-1/3)$, а формула превращается... превращается формула... в

$$\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}=\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}=\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}.$$

Т.е. мы решили систему линейных уравнений

$$\begin{cases}A+B=0,\\A-2B=1.\end{cases}$$

dnoskov в сообщении #222371 писал(а):

Не вполне ясно каким образом $3A+3B=0$ и $A-2B=1$
Не могли бы Вы объяснить по подробнее (или указать что или где почитать)

[dnoskov]

Так вооооот оно что!!!!

Ну, теперь я всё понял.

Большое пребольшое спасибо!!

[MGM]

Забавно, что методы дифференцирования и интегрирования не прижились для сумм.
Многие занудные выводы легко упрощаются, если использовать метод конечных разностей.