Сходимость интеграла

[ecursionr]

помогите разобраться
как определить характер сходимости интеграла
есть пример:

$$ \int_{0}^{+\infty} \frac {\arctg(x^2+x^2\alpha)}{x \ln^\alpha(1+x)} dx $$

Далее я знаю нужно найти особенные точки
у меня получилось $x=0$
После нужно искать какие-то пределы,
с этим не понятно

[meduza]

ecursionr в сообщении #222249 писал(а):

Далее я знаю нужно найти особенные точки
у меня получилось $x=0$

Еще есть, про логарифм забыли. И точки не особенные, а особые.

[ecursionr]

еще $x>-1$
как дальше поступать?

[ewert]

да чего там искать. Особых точек откровенно лишь две: ноль и бесконечность (о которой, между прочим, тоже не следует забывать). А вот минус единичка, между прочим, особой не является, ибо лежит за пределами промежутка интегрирования.

В нуле надо заменить логарифм на эквивалентную. Получится знаменатель, эквивалентный некоторой степени икса, который и надобно сравнивать с эквивалентной к числителю. В зависимость от альфы, конечно.

На бесконечности -- надо гордо проигнорировать арктангенс, заменив его на предельное значение, и заменить логарифм на эквивалентный, откинув несущественную под ним единичку. После чего интеграл тупо берётся (опять же в зависимости от альфы, конечно).

[MGM]

meduza в сообщении #222254 писал(а):

ecursionr в сообщении #222249 писал(а):

Далее я знаю нужно найти особенные точки
у меня получилось $x=0$

Еще есть, про логарифм забыли. И точки не особенные, а особые.

А что не так с логарифмом?

[meduza]

MGM в сообщении #222324 писал(а):

А что не так с логарифмом?

Ничего уже, ступил. $-1 \notin (0, +\infty)$. ewert поправил.

[ecursionr]

понятно, спасибо
а если при одном параметре пределы при $x \to 0$ и $x \to \infty$ равны нулю и $ \infty$ , сам интеграл при этом параметре расходится?