динамическая система в кольце

[terminator-II]

расссмотрим гладкую систему диф. уравнений

$$\dot x_i=v_i(x),\quad i=1,2,\quad x\in K=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid 0<r\le x_1^2+x_2^2\le R\}.$$

вопрос ставится так: указать условия при которых эта система имеет замкнутую траекторию охватывающую внутреннюю границу кольца.
очевидный подход состоит в том, что бы наложить на векторное поле такие условия что бы любая траектория крутилась вокруг начала координат , например, все время по часовой стрелке. тогда определено отображение последования отрезка $[(r,0),(R,0)]$, и это отображение имеет неподвижную точку. однако отображение последования определено и в гораздо более общей ситуации: когда, каждая траектория возможно несколько раз меняет направление движения (по/против часовой стрелки) ,но всеравно совершает полный оборот. какие условия были бы достаточными для реализации такой картины?
впрочем, наверняка, для существования периодической траектории возможны и другие причины не связанные с существованием отображения последования

[Padawan]

Теорема Пуанкаре-Бендиксона Пусть $G_1$ и $G_2$ — две жордановы кривые, причем $G_1$ лежит внутри $G_2$. Пусть $D$ — кольцевая область, лежащая между $G_1$ и $G_1$, а $\overline{D}$ — ее замыкание. Тогда, если $\overline{D}$ не содержит стационарных точек и является положительно или отрицательно инвариантным множеством (т.е. переводится потоком в себя либо при $t>0$ либо при $t<0$), то в $\overline{D}$ — есть по крайней мере один цикл.