Найдите все функции

[daogiauvang]

Найдите все дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению:

$$f(x) =\frac{ f(x)+f(y)}{1-f(x)\cdot f(y)}$$

[мат-ламер]

Вот если бы слева стояло $f(x+y)$, то можно было бы думать о тангенсе.

[MGM]

мат-ламер в сообщении #222219 писал(а):

Вот если бы слева стояло $f(x+y)$, то можно было бы думать о тангенсе.

и так не плохо.
Функция от х комплексная константа(0,1).
Ну а от у как-нибудь сам догадается.

[terminator-II]

MGM в сообщении #222232 писал(а):

Функция от х комплексная константа(0,1).

чепуха.
$f(x)=1/2$ -- уравнение не удовлетворяется

[meduza]

$f(x) =\frac{ f(x)+f(y)}{1-f(x) f(y)}$
$f(x)-(f(x))^2 f(y) = f(x)+f(y)$
$(f(x))^2 = -1$, если $f(y) \neq 0$

$f(x) = i, f(y) = const \neq 0
Можно записать так: $f(u)=\left\{ \begin{array}{l}i, u = x,\\C\ (C = \mathrm{const} \neq 0), u \neq x. \end{array} \right$

p.s. подправил

[MGM]

terminator-II в сообщении #222234 писал(а):

MGM в сообщении #222232 писал(а):

Функция от х комплексная константа(0,1).

чепуха.
$f(x)=1/2$ -- уравнение не удовлетворяется

Конечно нет.
Потому как "мнимая" единица никогда не равна одной второй.

[EtCetera]

Если ввести функцию $\phi(x)$ такую, что $f(x)=\tg\phi(x)$, получим:
$\tg\phi(x)=\tg(\phi(x)+\phi(y))$
$\phi(y)=\pi k, k\in\mathbb{Z}$
$f(y)=tg(\pi k)=0$ - то есть тривиальный случай (тождественное равенство константе 0).
Единственно, на чем стоит поподробнее остановиться - на правомерности введения такой функции $\phi(x)$.

-- Пн июн 15, 2009 19:11:08 --

Интересно, где я мнимую единицу пропустил?

[terminator-II]

MGM в сообщении #222241 писал(а):

Потому как "мнимая" единица никогда не равна одной второй

там не было написано "мнимая единица", там было написано "комплексная константа", теперь я понимаю, что (0,1) это Вы так число $i$ величаете. Забавно.

[MGM]

terminator-II в сообщении #222244 писал(а):

MGM в сообщении #222241 писал(а):

Потому как "мнимая" единица никогда не равна одной второй

там не было написано "мнимая единица", там было написано "комплексная константа", теперь я понимаю, что (0,1) это Вы так число $i$ величаете. Забавно.

Так правильней, вообще-то.
Буковка $ i $ это пережиток ТФКП прошлых веков.
Теперь модно по другому.