Пусть

конечное множество, тогда из аксиом

следует, что фильтры и ультрафильтры устроены следующим образом: они содержат некоторое подмножество множества

(минимальное подмножество) и подмножества вида

где

- всевозможные подмножества множества

, такие, что

. Таким образом каждый фильтр (ультрафильтр) полностью определяется заданием его минимального подмножества

.
Используя аксиому

, получим, что для ультрафильтра его минимальное подмножество состоит лишь из одного элемента. Пусть

- элементы, образующие минимальные подмножества ультрафильтров

. Тогда

содержит подмножество

, а также семейство подмножеств

, где

- всевозможные подмножества

, не содержащие элементов

.
Будем теперь строить фильтры, задавая их с помощью минимальных подмножеств:

. Всего получим

фильтров. Очевидно, что

содержится в каждом из этих фильтров.