вопрос про коэффициенты в ряде Фурье

[grishan]

Кто знает,

следует ли из того, что если функция интегрируема по Риману на отрезке [0,1], то $\int\limits_0^1 {f(x)\sin (\omega x) < \frac{C}{\omega }} $, где $C$ - некоторая константа (то есть коэффициенты ряда Фурье для функции $f(x)$ убывают как $\frac{1}{\omega}$)?

А если не следует, то
- каковы должны быть наложены условия на $f(x)$, чтобы это выполнялось?
- есть ли какой-нибудь пример функции $f(x)$, для которой это не выполняется?

[RIP]

Конечно, не следует. Даже непрерывности недостаточно (например, $f(x)=\sum_1^\infty\frac{\sin2^n\pi x}{n^2}$). Ограниченности вариации, очевидно, достаточно.

[Полосин]

Нет: $f(x)=x^{\alpha-1}, 0<\alpha<1$. Можно лишь утверждать, что коэффициенты стремятся к нулю (лемма Римана); в общем случае, стремление может быть сколь угодно медленным (домножьте указанную функцию на соответствующий логарифм). Скорость стремления к.Ф. к нулю зависит от гладкости функции. Ваше утверждение верно, например, для функций, имеющих ограниченную производную.
Простейшие свойства рядов и коэффициентов Фурье см. в учебнике Фихтенгольца, более изощренные - в книгах Бари и Зигмунда.

[grishan]

Спасибо !

[AD]

Давайте тоже похожий вопросик задам. Следует ли из непрерывности функции $f$, что

$$\sum_{k=1}^\infty (a_k(f)^2+b_k(f)^2)\ln k<\infty$$

Ну в стандартных обозначениях, то есть $a_k$ и $b_k$ - коэффициенты Фурье по косинусам и синусам соответственно.

[RIP]

Нет, конечно. Пример аналогичный

$$f(x)=\sum_1^\infty\frac{\sin2^{n^4+1}\pi x}{n^2}.$$

[AD]

Н-да. Действительно!