предел x^d при d->0 равен log(x)

[maxal]

Заговолок - это, конечно, шутка, в которой есть доля шутки.

Предлагаю рассмотреть предел $\lim\limits_{d\to 0} x^d$ вот в каком аспекте. Известно, что:

1) среднее степени $d$ набора положительных вещественных чисел $y_1,\dots,y_n$

$$A_d(y_1,\dots,y_n) = \left(\frac{\sum_{i=1}^n y_i^d}n\right)^{1/d}$$

при $d\ne 0$ - это Колмогоровское среднее для функции $\varphi(x)=x^d$;

2) предел $A_d(y_1,\dots,y_n)$ равен при $d\to 0$ равен среднему геометрическому:

$$\lim_{d\to 0} A_d(y_1,\dots,y_n) = \sqrt[n]{y_1\cdots y_n};$$

3) среднее геометрическое - это Колмогоровское среднее с функцией $\varphi(x)=\log x$.

Вот и получается, что с точки зрения средних:

$$\lim_{d\to 0} x^d = \log x.$$

-- Wed Jun 10, 2009 13:29:51 --

И что интересно, логарифм здесь может браться по любому основанию

[ddn]

Пусть имеются:
Числа $a,b,a',b'\in\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$, $a<b$, $a'<b'$.
Класс непрерывных взаимнооднозначных из $[a,b]$ в $[a',b']$ функций:
$\Omega=C([a,b]\leftrightarrow[a',b'])$, совпадающий, очевидно,
с классом взаимнооднозначных и строго монотонных из $[a,b]$ в $[a',b']$ функций:
$\{\psi|\psi\in([a,b]\leftrightarrow[a',b']),\forall x,x',x''\in[a,b]$
$(x<x'<x''\Rightarrow(\psi(x)<\psi(x')<\psi(x''))\vee((\psi(x)>\psi(x')>\psi(x'')))\}$.


Среднее по Колмогорову есть:
$S[\varphi](x_i|_{i=1}^{n})=\varphi^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)\right)$
для $\varphi\in\Omega$ и $x_i\in[a,b]|_{i=1}^{n}$.


Если для $\varphi_1,\varphi_2\in\Omega$ имеет место $S[\varphi_1]\equiv S[\varphi_2]$, что можно сказать про эквивалентные функции $\varphi_1$ и $\varphi_2$?

Если $\varphi_2(x)=\alpha\varphi_1(x)+\beta$ и $\alpha\not=0$, то
$\varphi_2^{[-1]}(y)=\varphi_1^{[-1]}(\frac{y-\beta}{\alpha})$ и тогда

$S[\varphi_2](x_i|_{i=1}^{n})=\varphi_2^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_2(x_i)\right)=$
$=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{\alpha}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_2(x_i)-\beta\right)\right)=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\varphi_2(x_i)-\beta}{\alpha}\right)$
$=\varphi_1^{[-1]}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi_1(x_i)\right)=S[\varphi_1](x_i|_{i=1}^{n})$

Исчерпывается ли функции, эквивалентные $\varphi_1$ видом $\varphi_2(x)=\alpha\varphi_1(x)+\beta$?

Каким должно быть поведение $\alpha_n$ и $\beta_n$, для последовательности $\varphi_{1,n}$, $\varphi_{2,n}$ эквивалентных ($S[\varphi_{1,n}]\equiv S[\varphi_{2,n}]$) функций, чтобы существующие функциональные пределы $\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{1,n}$, $\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{2,n}$ также были эквивалентными функциями, то есть чтобы:
$S[\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{1,n}]\equiv S[\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{2,n}]$?

maxal писал(а):

Вот и получается, что с точки зрения средних:
$\lim\limits_{d\to 0}x^d=\log x$

$\lim\limits_{d\to +0}x^d=\left\{\begin{array}{cc}1,&x>0\\0,&x=0\end{array}$.
Если вместо $x^d$ мы возьмем эквивалентную ей функцию $\frac{x^d-1}{d\cdot\ln(c)}$, где $\alpha=\frac{1}{d\cdot\ln(c)}$ и $\beta=-\frac{1}{d\cdot\ln(c)}$, то действительно получим
$\lim\limits_{d\to0}\frac{x^d-1}{d\cdot\ln(c)}=\log_{c}x$.