2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Коши
Сообщение10.06.2009, 00:11 


04/04/08
481
Москва
Найти решение задачи Коши: $$x'=\frac{t(1-x^2)}{x(1+t^2)}, x(\sqrt{3})=-\frac{3}{2}$$

Решение: $$\frac{dx}{dt}=\frac{t(1-x^2)}{x(1+t^2)}$$
$$\int\frac{x}{1-x^2}dx=\int\frac{t}{1+t^2}dt$$
$$\frac{1}{2}\int\frac{d(x^2)}{1-x^2}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^2)}{1+t^2}$$
$$\ln{\left|\frac{1+x}{1-x}\right|}=\arctg{t}+C_1$$
$$\frac{1+x}{1-x}=Ce^{\arctg{t}}$$
$$x=\frac{Ce^{\arctg{t}}-1}{1+Ce^{\arctg{t}}}$$
Подставляем начальное условие: $$-\frac{3}{2}=\frac{Ce^{\arctg{\sqrt{3}}}-1}{1+Ce^{\arctg{\sqrt{3}}}}$$
$$-\frac{3}{2}=\frac{Ce^{\pi/3}-1}{1+Ce^{\pi/3}}$$
$$C=-\frac{5}{e^{\pi/3}}$$
Отсюда, решение задачи Коши: $$x=-\frac{5e^{\arctg{t}-\pi/3}+1}{1-5e^{\arctg{t}-\pi/3}}$$
Но в книге ответ совсем другой: $$x=-\sqrt{\frac{6+t^2}{1+t^2}}$$
Скажите, в чем я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши
Сообщение10.06.2009, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ошибаетесь в той строке, где в первый раз прозвучало слово "арктангенс".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши
Сообщение10.06.2009, 00:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Причём дважды -- и слева, и справа не туды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши
Сообщение10.06.2009, 00:20 


04/04/08
481
Москва
Ага. Спасибо. Это от невнимательности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group