Условия того, что набор чисел задает расстояния в евкл. пр-в

[Ryabsky]

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данный набор из $C^2_n$ неотрицательных вещественных чисел являлся набором расстояний между
- $n$ линейно независимыми векторами евкл. пространства
- $n$ произвольными векторами евкл. пространства.

практически полностью был уверен в мысли, что для каждой тройки векторов должно выполняться неравенство треугольнка (в первом случае - строгое, а во втором - нестрогое). необходимость очевидна. в достаточности я что то запутался. хотя я что то начал сомневаться в том, что это достаточное условие. подскажите пожалуйста, какое это условие, и если можно, подкиньте мысли к доказательству.

[vlad239]

Недостаточно. Пример - трехмерное пространство, расстояния $1,1,1,1,1,1.9$.

Влад.

[Ryabsky]

согласен. тогда не могу понять, какое же тогда условие еще должно выполняться?

[Юстас]

Как-нибудь должна участвовать матрица Грама: можно считать, что одна из точек - начало координат и нам заданы длины и скалярные произведения: $<x_i-y_j,x_i-y_j>=\|x\|^2+\|y\|^2-2<x,y>$. Тогда из этих чисел можно составить симметричную неотрицательную матрицу. В первом случае она будет строго положительной(любая положительная м-ца в силу $A=V^T \Lambda V=(\sqrt{\Lambda}V)^T \sqrt{\Lambda}V$ есть м-ца Грама).

[Профессор Снэйп]

Может, стоит сначала разобрать частный случай трёхмерного пространства и четырёх точек. Каким необходимым и достаточным условиям должны удовлетворять длины рёбер произвольного тетраэдра в $\mathbb{R}^3$?